Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Văn Thoại lần 2

Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Văn Thoại lần 2

  • Hocon247

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

  • 67 lượt thi

  • Trung bình

Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com

Câu 1: Trắc nghiệm ID: 166424

Trong không gian tọa độ Oxyz, đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-8}=\frac{z+13}{9}\) có một véc tơ chỉ phương là

Xem đáp án

Đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-8}=\frac{z+13}{9}\) có véc tơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left( 2;\,-8;\,9 \right).\)

Nên \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;\,-8;\,9 \right)\) là véc tơ chỉ phương của \(\left( d \right).\)

Câu 2: Trắc nghiệm ID: 166425

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

Xem đáp án

Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương, nên loại đáp án A và B.

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \) suy ra a<0 nên loại C.

Câu 3: Trắc nghiệm ID: 166426

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x-y+2z-3=0\) đi qua điểm nào dưới đây?

Xem đáp án

Xét điểm \(M\left( 1\,;\,1;\,\frac{3}{2} \right)\), ta có: \(1-1+2.\frac{3}{2}-3=0\) đúng nên \(M\in \left( \alpha\right)\) nên A đúng.

Xét điểm \(N\left( 1\,;-1\,;-\frac{3}{2} \right)\), ta có: \(1+1+2.\left( -\frac{3}{2} \right)-3=0\) sai nên \(N\notin \left( \alpha\right)\) nên B sai.

Xét điểm \(P\left( 1\,;\,6\,;\,1 \right)\), ta có: 1-6+2.1-3=0 sai nên \(P\notin \left( \alpha\right)\) nên C sai.

Xét điểm \(Q\left( 0\,;\,3\,;\,0 \right)\), ta có: 0-3+2.0-3=0 sai nên \(Q\notin \left( \alpha  \right)\) nên D sai.

Câu 4: Trắc nghiệm ID: 166427

Với \(\alpha \) là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án

+) Có \(\sqrt{{{10}^{\alpha }}}={{10}^{\frac{\alpha }{2}}}\) với mọi \(\alpha \), nên A đúng.

+) Có \({{\left( {{10}^{\alpha }} \right)}^{2}}={{\left( 100 \right)}^{\alpha }}\) với mọi \(\alpha \), nên B đúng.

+) Có \(\sqrt{{{10}^{\alpha }}}={{\left( \sqrt{10} \right)}^{\alpha }}\) với mọi \(\alpha \), nên C đúng.

+) Có \({{\left( {{10}^{\alpha }} \right)}^{2}}={{10}^{{{\alpha }^{2}}}}\) (*), dấu đẳng thức xảy ra khi \(\alpha =0\) hoặc \(\alpha =2\).

Lấy \(\alpha =1\) thì (*) sai, vậy D sai.

Câu 6: Trắc nghiệm ID: 166429

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-4z-25=0\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Xem đáp án

Ta có: \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-4z-25=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=34\)

Vậy \(I\left( 1;-2;2 \right); R=\sqrt{34}\).

Câu 7: Trắc nghiệm ID: 166430

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( 3\,;\,2\,;\,-4 \right)\) lên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) có tọa độ là

Xem đáp án

Gọi \({A}'\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( 3\,;\,2\,;\,-4 \right)\) lên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\), ta có \({A}'\,\left( 3\,;\,2\,;\,0 \right)\).

Câu 8: Trắc nghiệm ID: 166431

Cho dãy số \(\frac{1}{2};0;-\frac{1}{2};-1;-\frac{3}{2};.....\) là cấp số cộng với

Xem đáp án

Nếu dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là một cấp số cộng thị công sai d của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó.

Ta có \(\frac{1}{2};0;-\frac{1}{2};-1;-\frac{3}{2};.....\) là cấp số cộng \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \frac{1}{2}\\ {u_2} - {u_1} = - \frac{1}{2} = d \end{array} \right.\)

Câu 9: Trắc nghiệm ID: 166432

Đạo hàm của hàm số \(y={{\pi }^{x}}\) là

Xem đáp án

\(y' = {\pi ^x}.\ln \pi \)

Câu 11: Trắc nghiệm ID: 166434

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \({f}'\left( x \right)\) như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án

Dựa vào bảng xét dấu \({f}'\left( x \right)\) ta nhận thấy hàm số không đạt cực đại tại \({{x}_{0}}=-2\) vì \({f}'\left( x \right)\) không đổi dấu khi x đi qua điểm \({{x}_{0}}=-2\).

Câu 12: Trắc nghiệm ID: 166435

Cho đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta có hàm số đồng biến (đồ thị đi lên) trên khoảng (0;2).

Câu 14: Trắc nghiệm ID: 166437

Cho số phức \(z=-1+2i\,,\,w=2-i\). Điểm nào trong hình bên biểu diễn số phức z+w?

Xem đáp án

z + w = 1 + i

Do đó điểm biểu diễn của số phức z+w là \(P\left( 1\,;\,1 \right).\)

Câu 15: Trắc nghiệm ID: 166438

Cho khối chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Tính thể tích V của khối chóp đó theo a, b, c.

Xem đáp án

Áp dụng công thức thể tích khối tứ diện vuông \(V = \frac{{SA.SB.SC}}{6} = \frac{{abc}}{6}\)

Câu 16: Trắc nghiệm ID: 166439

Cho số phức \({{z}_{1}}=1+i\) và \({{z}_{2}}=2-3i\). Tìm số phức liên hợp của số phức \(\text{w}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\)?

Xem đáp án

\({\rm{w}} = {z_1} + {z_2} = 1 + i + 2 - 3i \Rightarrow {\rm{w}} = 3 - 2i \Rightarrow \overline {\rm{w}}  = 3 + 2i\)

Câu 17: Trắc nghiệm ID: 166440

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{x}}+x+1\). Tìm \(\int{f\left( x \right)\text{d}x}\)

Xem đáp án

\(\int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x}  = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C\)

Câu 18: Trắc nghiệm ID: 166441

Đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-2}\) lần lượt có phương trình là

Xem đáp án

Ta có:

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-2}=2;\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-2}=2\), suy ra đường thẳng y=2 là phương trình đường tiệm cận ngang.

\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-2}=+\infty ;\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-2}=-\infty \), suy ra đường thẳng x=2 là phương trình đường tiệm cận đứng.

Đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số lần lượt là y=2,x=2

Câu 19: Trắc nghiệm ID: 166442

Nghiệm của bất phương trình \({{3}^{x+2}}\ge \frac{1}{9}\) là

Xem đáp án

\({3^{x + 2}} \ge \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} \ge {3^{ - 2}} \Leftrightarrow x + 2 \ge  - 2 \Leftrightarrow x \ge  - 4\)

Câu 20: Trắc nghiệm ID: 166443

Cho hình nón có bán kính đáy \(r=\sqrt{3}\) và độ dài đường sinh l=4. Tính diện tích xung quanh \({{S}_{xq}}\) của hình nón đã cho.

Xem đáp án

Ta có diện tích xung quanh của hình nón là \({{S}_{xq}}=\pi rl\), với \(r=\sqrt{3}, l=4\).

Suy ra \({{S}_{xq}}=4\sqrt{3}\pi \)

Vậy hình nón có bán kính đáy \(r=\sqrt{3}\) và độ dài đường sinh l=4 có diện tích xung quanh là \({{S}_{xq}}=4\sqrt{3}\pi \).

Câu 21: Trắc nghiệm ID: 166444

Cho tứ diện ABCD có AC=AD và BC=BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án

Nếu AB không vuông góc với \(\left( BCD \right)\) nên góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( ABD \right)\) không thể là góc \(\widehat{CBD}\).

Xét đáp án B có:

\(\left. \begin{array}{l} CD \bot AI\\ CD \bot BI \end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {AIB} \right)\) ; \(CD\subset \left( BCD \right)\) nên \(\left( BCD \right)\bot \left( AIB \right)\). B đúng.

Chứng minh tương tự \(\left( ACD \right)\bot \left( AIB \right)\). D đúng.

Xét đáp án A:

\(\left. \begin{array}{l} CD \bot AI\\ CD \bot BI\\ CD = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \) Góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( ACD \right)\) và \(\left( BCD \right)\) là góc giữa \(\widehat{\left( AI;BI \right)}\) .

Câu 22: Trắc nghiệm ID: 166445

Biết rằng có duy nhất một cặp số thực \(\left( x;\ y \right)\) thỏa mãn \(\left( x+y \right)+\left( x-y \right)i=5+3i\). Tính S=x+2y.

Xem đáp án

\(\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ x - y = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = 1 \end{array} \right. \Rightarrow S = 6\)

Câu 23: Trắc nghiệm ID: 166446

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-8x}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ 1;3 \right]\) bằng

Xem đáp án

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\).

Đạo hàm: \({f}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\).

Xét \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2\in \left[ 1\,;\,3 \right] \\ & x=-4\notin \left[ 1\,;\,3 \right] \\ \end{align} \right.\)

Ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 1\,;\,3 \right]\).

Ta có: \(f\left( 1 \right)=-\frac{7}{2}; f\left( 3 \right)=-\frac{15}{4}; f\left( 2 \right)=-4\).

Vậy \(\underset{\left[ 1\,;\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=-\frac{7}{2}\).

Câu 24: Trắc nghiệm ID: 166447

Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}\,-\,\,x\,+\,2 \right)=1\) là

Xem đáp án

Theo giả thiết ta có:

\({\log _2}\left( {{x^2}\, - \,\,x\, + \,2} \right) = 1\, \Leftrightarrow \,{x^2}\, - \,\,x\, + \,2\, = \,{2^1} \Leftrightarrow \,{x^2}\, - \,\,x\, + \,2\, - \,2\, = \,0\)

\( \Leftrightarrow \,{x^2}\, - \,\,x\,\, = \,0 \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l} x\,\, = \,0\\ x\,\, = \,1 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Câu 25: Trắc nghiệm ID: 166448

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{3x+2}\) là

Xem đáp án

+ Đặt: \(t=\sqrt{3x+2}\to {{t}^{2}}=3x+2\to \frac{2t\text{dt}}{3}=\text{d}x\).

+ Khi đó: \(\int{\left( \sqrt{3x+2} \right)}\text{d}x=\int{t.}\frac{\text{2tdt}}{3}=\frac{2}{3}\int{{{t}^{2}}\text{dt}}=\frac{2}{9}{{t}^{3}}+C\).

Vậy \(\int{\left( \sqrt{3x+2} \right)}\text{d}x=\frac{2}{9}\left( 3x+2 \right)\sqrt{3x+2}+C\).

Câu 26: Trắc nghiệm ID: 166449

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( -2\,;\,4\,;\,3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,2x-3y+6z+19=0\) có phương trình là

Xem đáp án

Mặt phẳng \(\left( \alpha\right):\,2x-3y+6z+19=0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 2\,;-3\,;\,6 \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( -2\,;\,4\,;\,3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 2\,;-3\,;\,6 \right)\) làm vectơ chỉ phương, khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z-3}{6}.\)

Câu 27: Trắc nghiệm ID: 166450

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}\left( x-1 \right)\left( x-2 \right),\,\forall x\in \mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Xem đáp án

Xét \(f'\left( x \right) = {x^3}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\), ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 28: Trắc nghiệm ID: 166451

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( ABCD \right), \widehat{SAB}={{30}^{0}}, SA=2a\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB.

Do \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\) và \(\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB\) nên \(SH\bot \left( ABCD \right).\)

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có: \(\sin \widehat{SAB}=\frac{SH}{SA}\Rightarrow SH=\sin {{30}^{0}}.SA=a.\)

Mặt khác: \({{S}_{ABCD}}=A{{D}^{2}}={{a}^{2}}.\)

Nên \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{ABCD}}.a=\frac{1}{3}\cdot {{a}^{2}}.a=\frac{{{a}^{3}}}{3}\cdot \)

Câu 29: Trắc nghiệm ID: 166452

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, \(SA\bot \left( ABCD \right)\). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của \(\Delta SAC\), do đó \(OI\parallel \,SA\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} IO\parallel \,SA\\ SA \bot \left( {ABCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vậy \(d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right) = OI\)

Câu 30: Trắc nghiệm ID: 166453

Với hai số thực dương \(a,\,b\) thỏa mãn \(\frac{{{\log }_{3}}5{{\log }_{5}}a}{1+{{\log }_{3}}2}-{{\log }_{6}}b=2\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Xem đáp án

\(\frac{{{{\log }_3}5.{{\log }_5}a}}{{1 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2 \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}6}} - {\log _6}b = 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _6}a - {\log _6}b = 2 \Leftrightarrow {\log _6}\frac{a}{b} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 36 \Leftrightarrow a = 36b\)

Câu 31: Trắc nghiệm ID: 166454

Bất phương trình \({{4}^{x-15}}<32\) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

Xem đáp án

\({4^{x - 15}} < 32 \Leftrightarrow {2^{2x - 30}} < {2^5}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - 30 < 5\\ \Leftrightarrow x < \frac{{35}}{2} \end{array}\)

Nghiệm của bất phương trình là \(x<\frac{35}{2}\)

\(\Rightarrow \) Các nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: \(x=1;\,2;\,3;\,...... ; 15;\,16;\,17\). Có 17 nghiệm nguyên dương.

Câu 32: Trắc nghiệm ID: 166455

Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{x+1}}\text{d}x\) là

Xem đáp án

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {{\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}{\rm{d}}\left( {x + 1} \right)} \)

\(= \left. x \right|_0^1 - \left. {\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^1 = 1 - \ln 2\)

Câu 33: Trắc nghiệm ID: 166456

Hàm số \(y=\sqrt{2018x-{{x}^{2}}}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Xem đáp án

Tập xác định: \(D=\left[ 0;2018 \right]; {y}'=\frac{2018-2x}{2\sqrt{2018x-{{x}^{2}}}}; {y}'=0\Rightarrow x=1009\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 1009\,;2018 \right)\). Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left( 1010\,;2018 \right)\).

Câu 34: Trắc nghiệm ID: 166457

Tìm số phức z thỏa mãn \(\left( 2-3i \right)z-\left( 9-2i \right)=\left( 1+i \right)z.\)

Xem đáp án

\(\left( {2 - 3i} \right)z - \left( {9 - 2i} \right) = \left( {1 + i} \right)z \Leftrightarrow \left[ {\left( {2 - 3i} \right) - \left( {1 + i} \right)} \right]z = 9 - 2i \Leftrightarrow z = \frac{{9 - 2i}}{{1 - 4i}} = 1 + 2i.\)

Câu 35: Trắc nghiệm ID: 166458

Tổ 1 lớp 11A có 6 nam và 7 nữ; tổ 2 có 5 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh. Xác suất để 2 học sinh được chọn đều là nữ là

Xem đáp án

Số cách chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh: \(C_{13}^{1}.C_{13}^{1}=169\)

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right)=169\)

Gọi A là biến cố: “2 học sinh được chọn đều là nữ”.

Số cách chọn ra 2 học sinh đều là nữ: \(C_{7}^{1}.C_{8}^{1}=56\)

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: \(n\left( A \right)=56\)

Xác suất để 2 học sinh được chọn đều là nữ là

\(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{56}{169}\).

Câu 36: Trắc nghiệm ID: 166459

Trong hình vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\), điểm B biểu diễn số phức \({{z}_{2}}\) sao cho điểm B đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm \(\left| z \right|\) biết số phức \(z={{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\).

Xem đáp án

Trong hình trên, ta thấy: Điểm A biểu diễn số phức \({{z}_{1}}=-1+2i\).

Số phức \({{z}_{2}}={{x}_{B}}+{{y}_{B}}i \left( {{x}_{B}}\,,\,{{y}_{B}}\in \mathbb{R} \right)\). Do điểm B biểu diễn số phức \({{z}_{2}}\) và B đối xứng với A qua O, suy ra : \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{B}}=-{{x}_{A}}=-\left( -1 \right)=1 \\ & {{y}_{B}}=-{{y}_{A}}=-2 \\ \end{align} \right.\) \(\Rightarrow {{z}_{2}}=1-2i\).

Số phức \(z={{z}_{1}}+3{{z}_{2}}=\left( -1+2i \right)+3.\left( 1-2i \right)=\left( -1+3 \right)+\left( 2-3.2 \right)i=2-4i\).

\(\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}\).

Câu 37: Trắc nghiệm ID: 166460

Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m và n. Tính \(S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}\).

Xem đáp án

Khi x=0 thì y=0; x=1 thì y=-1.

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm \(O\left( 0;0 \right)\) và \(A\left( 1;-1 \right)\). Véctơ chỉ phương của đường thẳng là \(\overrightarrow{OA}=\left( 1;-1 \right)\), từ đó véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;1 \right)\).

Vì thế đường thẳng có phương trình \(1.\left( x-1 \right)+1.\left( y-0 \right)=0 \Leftrightarrow x+y=0 \Leftrightarrow y=-x\).

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) và đường thẳng y=-x là:

\(\begin{array}{l} {x^4} - 2{x^2} = - x \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^3} - 2x + 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

Vì thế \(m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, n=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, n=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\).

Vậy \(S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=3\).

Câu 38: Trắc nghiệm ID: 166461

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,-5 \right), B\left( -4\,;\,1\,;\,3 \right)\). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AB nên tọa độ của điểm I là: \(I\left( -1\,;\,2\,;\,-1 \right)\).

Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính là AB nên bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

\(R\,=\,\frac{AB}{2}\,=\,\frac{\sqrt{{{\left( -4\,-\,2 \right)}^{2}}\,+\,{{\left( 1\,-\,3 \right)}^{2}}\,+\,{{\left( 3\,+\,5 \right)}^{2}}}}{2}\,=\,\sqrt{26}\).

Vậy mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1\,;\,2\,;\,-1 \right)\) và bán kính \(R\,=\,\sqrt{26}\) có phương trình:

\({{\left( x\,+\,1 \right)}^{2}}\,+\,{{\left( y\,-\,2 \right)}^{2}}\,+\,{{\left( z\,+\,1 \right)}^{2}}\,=\,26\).

Câu 39: Trắc nghiệm ID: 166462

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và trục hoành gồm 2 phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích \({{S}_{1}}=\frac{8}{3}\) và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích \({{S}_{2}}=\frac{5}{12}\). Tính \(I=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( 3x+1 \right)\text{d}x}\).

Xem đáp án

Ta có \(\frac{8}{3}={{S}_{1}}=\int\limits_{-2}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{12}{5}={{S}_{2}}=-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{12}{5}.\)

Tính \(I=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( 3x+1 \right)\text{d}x}\)

Đặt \(t=3x+1\Rightarrow \text{d}x=\frac{1}{3}\text{d}t\).

Đổi cận: \(x=-1\Rightarrow t=-2,\,\,x=0\Rightarrow t=1\).

\( \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{3}\left( {\int\limits_{ - 2}^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{8}{3} - \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{3}{4}.\)

Câu 40: Trắc nghiệm ID: 166463

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(1;\,0;\,1)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}.\) Đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là

Xem đáp án

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm và \(N=\Delta \cap Oz.\)

Ta có \(N(0;\,0;\,c).\) Vì \(\Delta \) qua \(M,\,N\) và \(M\notin Oz\) nên \(\overrightarrow{MN}(-1;\,0;\,c-1)\) là VTCP của \(\Delta .\)

d có 1 VTCP \(\vec{u}(1;\,2;\,3)\) và \(\Delta \bot d\) nên

\(\overrightarrow{MN}\cdot \vec{u}=0\Leftrightarrow -1+3(c-1)=0\Leftrightarrow c=\frac{4}{3}\Rightarrow \overrightarrow{MN}(-1;\,0;\,\frac{1}{3}).\)

Chọn \(\vec{v}(-3;\,0;\,1)\) là 1 VTCP của \(\Delta \), phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t\\ y = 0\\ z = 1 + t \end{array} \right.\)

Câu 41: Trắc nghiệm ID: 166464

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại \(\forall x\in \mathbb{R}\), hàm số \({f}'(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\)

Có đồ thị

Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left[ {f}'\left( x \right) \right]\) là

Xem đáp án

Số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ) của phương trình đa thức \({g}'\left( x \right)=0\).

PT \({g}'\left( x \right)=0\) có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.

Câu 42: Trắc nghiệm ID: 166465

S là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình \({{4}^{x}}-m{{2}^{x}}-m+15>0\) có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ 1;2 \right]\). Tính số phần tử của S

Xem đáp án

Đặt \(t={{2}^{x}}\) với \(x\in \left[ 1;2 \right]\) thì \(t\in \left[ 2;4 \right]\)

Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình \({{t}^{2}}-mt-m+15>0\) có nghiệm với mọi \(t\in \left[ 2;4 \right]\)

\({{t}^{2}}-mt-m+15>0 \forall t\in \left[ 2;4 \right]\)

\(\Leftrightarrow m<\frac{{{t}^{2}}+15}{t+1} \forall t\in \left[ 2;4 \right]\)

Đặt \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+15}{t+1}\)

Do đó: \(m<\underset{t\in \left[ 2;4 \right]}{\mathop{\text{max}\,f\left( t \right)}}\,=\frac{19}{3}\)

Vì m nguyên dương nên \(m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}\)

Câu 43: Trắc nghiệm ID: 166466

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và \(\left( {A}'BC \right)\) hợp với mặt đáy ABC một góc \(30{}^\circ \). Tính thể tích V của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot AA'}\\ {BC \bot AM} \end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'MA} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'MA} = 30^\circ \)

Vì \(AB=a\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\Rightarrow \tan \widehat{{A}'MA}=\frac{A{A}'}{AM}\Rightarrow A{A}'=\tan \widehat{{A}'BA}.AM=\tan 30{}^\circ .\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2}\).

Vậy thể tích của \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là:

\({{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\).

Câu 44: Trắc nghiệm ID: 166467

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh 20cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên. Biết một nửa trục lớn AB=6cm, trục bé CD=8cm. Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng

Xem đáp án

Diện tích của nửa elip có độ dài một nửa trục lớn AB=6cm, trục bé CD=8cm là \(\frac{1}{2}\pi .6.4=12\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\).

Diện tích bề mặt hoa văn đó là \(S={{S}_{hinh\_vuong}}-4{{S}_{nua\_elip}}={{20}^{2}}-4.12\pi =400-48\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\)

Câu 45: Trắc nghiệm ID: 166468

Trên một cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung.

Xem đáp án

Gọi \(\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} = 9 \vee \left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4\) là phương trình hai đường tròn biểu diễn phần ăn cỏ của 2 con bò.

Xét phần phía trên Ox

\(\begin{array}{l} \left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} = 9 \Rightarrow y = \sqrt {9 - {x^2}} \\ \left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow y = \sqrt { - {x^2} + 8x - 12} \end{array}\)

Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt {9 - {x^2}}  = \sqrt { - {x^2} + 8x - 12}  \Leftrightarrow x = \frac{{21}}{8}\)

Vậy \(S = 2\left[ {\int\limits_2^{\frac{{21}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x + \int\limits_{\frac{{21}}{8}}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } {\rm{d}}x} \right]\)

\(I = \int\limits_{\frac{{21}}{8}}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } {\rm{d}}x\mathop = \limits^{x = 3\sin t} \int\limits_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{\pi }{6}} {9{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} = 9.\int\limits_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{\cos 2t + 1}}{2}{\rm{d}}t = \left. {9\left( {\frac{1}{4}\sin 2t + \frac{t}{2}} \right)} \right|} _{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{\pi }{6}} \approx 0,3679\)

\(J = \int\limits_2^{\frac{{21}}{8}} {\sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } {\rm{d}}x\mathop = \limits^{x - 4 = 2\sin t} \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( { - \frac{{11}}{{16}}} \right)} {4{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} = 4.\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( { - \frac{{11}}{{16}}} \right)} {\frac{{\cos 2t + 1}}{2}{\rm{d}}t = \left. {4\left( {\frac{1}{4}\sin 2t + \frac{t}{2}} \right)} \right|} _{ - \frac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( { - \frac{{11}}{{16}}} \right)} \approx 0,627\)

\(\Rightarrow S \approx 1,9898\)

Câu 46: Trắc nghiệm ID: 166469

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)\text{d}x=2019,}\int\limits_{4}^{8}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x=1.}\) Tính \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Xem đáp án

Xét \({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+16}+x \right)\text{d}x=2019}\)

Đặt \(u=\sqrt{{{x}^{2}}+16}+x\Leftrightarrow u-x=\sqrt{{{x}^{2}}+16}\Rightarrow x=\frac{{{u}^{2}}-16}{2u}\Rightarrow \ \text{d}x=\frac{{{u}^{2}}+16}{2{{u}^{2}}}\text{d}u.\)

Khi \(x=0\Rightarrow u=4.\)

Khi \(x=3\Rightarrow u=8.\)

\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{1}{2}\int\limits_{4}^{8}{\frac{{{u}^{2}}+16}{{{u}^{2}}}f\left( u \right)\text{d}u=2019}\Rightarrow \int\limits_{4}^{8}{\frac{{{x}^{2}}+16}{{{x}^{2}}}f\left( x \right)\text{d}x=\int\limits_{4}^{8}{\frac{{{u}^{2}}+16}{{{u}^{2}}}f\left( u \right)\text{d}u=4038.}}\)

\(\Rightarrow \int\limits_{4}^{8}{\frac{{{x}^{2}}+16}{{{x}^{2}}}f\left( x \right)\text{d}x}=4038\Leftrightarrow \int\limits_{4}^{8}{f\left( x \right)\text{d}x}+16\int\limits_{4}^{8}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x=}4038\Leftrightarrow \int\limits_{4}^{8}{f\left( x \right)\text{d}x}=4038-16=4022.\)

Do \(\int\limits_{4}^{8}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x=1}.\)

Kết luận: \(\int\limits_{4}^{8}{f\left( x \right)\text{d}x}=4022.\)

Câu 47: Trắc nghiệm ID: 166470

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-m{{x}^{3}}+\frac{3}{2}\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+2019\) với m là tham số thực. Biết rằng hàm số \(y=f\left( \left| x \right| \right)\) có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi \(a<{{m}^{2}}<b+2\sqrt{c}\,\left( a,\,b,\,c\,\in \mathbb{R} \right)\). Tích abc bằng

Xem đáp án

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - m{x^3} + \frac{3}{2}\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {1 - {m^2}} \right)x + 2019.\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + \left( {1 - {m^2}} \right) = g\left( x \right). \end{array}\)

\(\Rightarrow g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right).\)

\(g'\left( x \right)=0.\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0.\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}-1=0.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = m + 1.}\\ {x = m - 1.} \end{array}} \right.\)

Hàm số \(y=f\left( \left| x \right| \right)\) có số điểm cực trị lớn hơn 5.

\(\Leftrightarrow \) Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị dương.

\(\Leftrightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 \ne m - 1}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 > 0}\\ {m - 1 > 0}\\ {g\left( {m + 1} \right).g\left( {m - 1} \right) < 0} \end{array}}\\ {g\left( 0 \right) < 0} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {\left( {{m^3} - {m^2} - 3m - 1} \right)}\\ {1 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\left( {{m^3} - {m^2} - 3m + 3} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^3} - {m^2} - 3m - 1 < 0}\\ {{m^3} - {m^2} - 3m + 3 > 0} \end{array}}\\ {1 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 3 < m < 1 + \sqrt 2 .\\ \Rightarrow 3 < {m^2} < 3 + 2\sqrt 2 . \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = b = 3,\,c = 2.\\ \Rightarrow abc = 18\,. \end{array}\)

Câu 48: Trắc nghiệm ID: 166471

Cho phương trình: \({{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0\). Tập các giá trị để bất phương trình có ba nghiệm phân biệt có dạng \(\left( a\,;\,b \right)\). Tổng a+2b bằng:

Xem đáp án

Ta có

\({2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} - {2^{{x^2} + x}} + {x^3} - 3x + m = 0 \Leftrightarrow {2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} + {x^3} + {x^2} - 2x + m = {2^{{x^2} + x}} + {x^2} + x\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\) trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \({f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0,\,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m \right)=f\left( {{x}^{2}}+x \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{x}^{2}}+x\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+m=0\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+3x\,\left( ** \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x\) trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \({g}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+3\)

\({g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \({{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 2 \end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 2\)

Câu 49: Trắc nghiệm ID: 166472

Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| z-4 \right|+2\left| z-3+2i \right|\).

Xem đáp án

Gọi \(M\left( x;\,y \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z, ta có \(\left| z \right|=2 \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\).

Gọi \(A\left( 4;0 \right), B\left( 3;\,-2 \right)\), khi đó \(P=\left| z-4 \right|+2\left| z-3+2i \right|=MA+2MB\).

Ta có \(MA=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+16} =\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+4+3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-8x+4} =2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2ME\) với \(E\left( 1;\,0 \right)\)

Thấy E nằm trong và B nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\).

Ta được \(P=MA+2MB=2ME+2MB\ge 2EB\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E, M, B thẳng hàng. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \({2EB=2\sqrt{4+4}=4\sqrt{2}}\).

Câu 50: Trắc nghiệm ID: 166473

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)\) lần lượt có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z-22=0, {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y+2z+5=0\). Xét các mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là điểm mà tất cả các \(mp\left( P \right)\) đi qua. Tính tổng S=a+b+c.

Xem đáp án

Mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}=\left( 1;1;1 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=5\)

Mặt cầu \(\left( {{S}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}}=\left( 3;-2;-1 \right)\), bán kính \({{R}_{2}}=3\).

Ta có \(\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\) nên hai mặt cầu này cắt nhau.

Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc ngoài hai mặt cầu.

Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)\) theo thứ tự tại điểm \({{H}_{1}},{{H}_{2}}\).

Gọi \(M={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \left( P \right)\) theo định lý Talet ta có

\(\frac{{M{I_2}}}{{M{I_1}}} = \frac{{{I_2}{H_2}}}{{{I_1}{H_1}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \overrightarrow {M{I_2}} = \frac{3}{5}\overrightarrow {M{I_1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - a = \frac{3}{5}\left( {1 - a} \right)\\ - 2 - b = \frac{3}{5}\left( {1 - b} \right)\\ - 1 - c = \frac{3}{5}\left( {1 - c} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 6\\ b = - \frac{{13}}{2}\\ c = - 4 \end{array} \right.\)

Vậy các mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm \(M\left( {6;\frac{{ - 13}}{2}; - 4} \right)\) và \(S = a + b + c =  - \frac{9}{2}\).

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »