Tập hợp

I. Tập hợp, phần tử

Giới thiệu

Một tập hợp (gọi tắt là tập) bao gồm những đối tượng nhất định, những đối tượng đó được gọi là những phần tử của tập hợp mà ta nhắc đến.

Mối quan hệ giữa tập hợp và phần tử: Tập hợp chứa phần tử (nếu có) và phần tử nằm trong tập hợp.

Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.

+ Ví dụ:

a) Tập hợp các bạn nữ trong lớp 6A bao gồm tất cả các bạn nữ của lớp 6A. Đối tượng của tập hợp này là các bạn nữ của lớp 6A. Mỗi một bạn là một phần tử.

b) Tập hợp các số nhỏ hơn gồm tất cả các số nhỏ hơn 6, đó là 0,1,2,3,4,5. Mỗi một số trong 6 số này là một phần tử của tập hợp, chẳng hạn số 0 là một phần tử, số 1 cũng là một phần tử.

II. Các kí hiệu tập hợp

+) Ta thường đặt tên cho tập hợp bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, D,...

+) Sử dụng các chữ cái thường a,b,c,... để kí hiệu cho phần tử.

+) Các phần tử của tập hợp được viết trong dấu ngoặc nhọn { }, cách nhau bởi dấu phẩy “,” hoặc dấu “;”(đối với trường hợp là các phần tử số).

+ Mỗi phần tử được liệt kê một lần , thứ tự liệt kê tùy ý.

+) Phần tử \(x\) thuộc tập hợp \(A\) được kí hiệu là \(x \in A\), đọc là “x thuộc A”. Phần tử \(y\) không thuộc tập hợp \(A\) được kí hiệu là \(y \notin A\), đọc là “y không thuộc A”.

Ví dụ: Tập hợp B gồm tất cả các số nhỏ hơn 5

Kí hiệu: \(B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\} = \left\{ {2;1;0;3;4} \right\}\). Mỗi số 0;1;2;3;4 đều là một phần tử của tập hợp B. Số 6 không là phần tử của B( 8 không thuộc B)

Ta viết \(0 \in B;1 \in B;2 \in B;\)\(3 \in B;4 \in B\) và \(8 \notin B\)

Ta không được viết \(B = \left\{ {0;\underline {1;1} ;2;3;4} \right\}\) cách viết này có hai số 1 là cách viết sai.

III. Các cách cho một tập hợp

1. Các cách cho một tập hợp

Cách 1:  Liệt kê các phần tử của tập hợp

Kí hiệu: \(B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\} = \left\{ {2;1;0;3;4} \right\}\)

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

Ngoài 2 cách cho tập hợp như trên, người ta còn minh họa bằng hình vẽ (Sơ đồ Venn).

Xem ví dụ

a) Tập hợp B gồm tất cả các số nhỏ hơn 5

Liệt kê: \(B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\} = \left\{ {2;1;0;3;4} \right\}\)

Chỉ ra tính chất đặc trưng: \(B = \{ x|x < 5\} \)

b) Tập hợp các số nhỏ hơn 6

Liệt kê:  \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\)

Chỉ ra tính chất đặc trưng: \(B = \{ x|x < 6\} \)

Sơ đồ Venn:

2. Tập rỗng

Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu \(\emptyset \).

IV. Tập hợp N và N*

Các số \(0,1,2,3,4,...\) là các số tự nhiên

Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là \(\mathbb{N}\), tức là \(\mathbb{N} = \left\{ {0;1;2;3;...} \right\}\)

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là \({\mathbb{N}^*}\), tức là \({\mathbb{N}^*} = \left\{ {1;2;3;...} \right\}\)

Tập hợp \(\mathbb{N}\) bỏ đi số 0 thì được \({\mathbb{N}^*}\).

Khi cho một số tự nhiên \(x \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta hiểu \(x\) là số tự nhiên khác 0.

Ví dụ:

Viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử: \(A = \left\{ {a \in {\mathbb{N}^*}\left| {a < 4} \right.} \right\}\)

\(a \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(a\) là các số từ 1;2;3;4;5;6;...

Tuy nhiên thêm điều kiện \(a < 4\) nên \(a\) là các số 1;2;3.

Vậy \(A = \left\{ {1;2;3} \right\}\)