Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiCho x, y>0 thỏa mãn \(\log \left( x+2y \right)=\log \left( x \right)+\log \left( y \right)\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{{{x}^{2}}}{1+2y}+\frac{4{{y}^{2}}}{1+x}\) là:
A. 6
B. \(\frac{32}{5}\).
C. \(\frac{31}{5}\)
D. \(\frac{29}{5}\)
Lời giải của giáo viên
HocOn247.com
Điều kiện: x > 0, y > 0.
Ta có: \(\log \left( {x + 2y} \right) = \log \left( x \right) + \log \left( y \right) \Rightarrow \log \left( {x + 2y} \right) = \log \left( {x.y} \right) \Rightarrow x + 2y = xy\,\,\,(*)\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel , ta có: \(P = \frac{{{x^2}}}{{1 + 2y}} + \frac{{{{\left( {2y} \right)}^2}}}{{1 + x}} \ge \frac{{{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{2 + x + 2y}}\).
Theo AM-GM, ta có: \(x + 2y \ge 2\sqrt {x.2y} \mathop = \limits^{(1)} 2\sqrt {2\left( {x + 2y} \right)} \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} \ge 8\left( {x + 2y} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2y \le 0\,\,\,({\rm{L}})\\ x + 2y \ge 8\,\,\,({\rm{N}}) \end{array} \right.\) (do điều kiện x > 0, y > 0). Suy ra \({x + 2y \ge 8}\).
Đặt \(t = x + 2y \ge 8\), ta có: \(P \ge \frac{{{t^2}}}{{t + 2}} = t - 2 + \frac{4}{{t + 2}}\).
\( \Leftrightarrow P \ge \underbrace {\frac{1}{{25}}\left( {t + 2} \right) + \frac{4}{{t + 2}}}_{AM - GM} + \underbrace {\frac{{24}}{{25}}t}_{ \ge \frac{{24}}{{25}}.8} - \frac{{52}}{{25}} \ge 2\sqrt {\frac{4}{{25}}} + \frac{{24}}{{25}}.8 - \frac{{52}}{{25}} = \frac{{32}}{5}\)
Do vậy \({P_{\min }} = \frac{{32}}{5}\).
Dấu đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{{1 + 2y}} = \frac{{2y}}{{1 + x}}\\ \underbrace {x + 2y}_t = 8;\,\,\frac{1}{{25}}\left( {t + 2} \right) = \frac{4}{{t + 2}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{8 - 2y}}{{1 + 2y}} = \frac{{2y}}{{1 + 8 - 2y}}\\ x = 8 - 2y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = 2 \end{array} \right..\)
CÂU HỎI CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) và \(AB=a\), \(AD=a\sqrt{3}\); \(A'O\) vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right)\). Cạnh bên \(AA'\) hợp với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \({{45}^{0}}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.
Tìm tập xác định \(\text{D}\) của hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+\ln \left( x-1 \right)\).
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng \(a\). Thể tích khối trụ bằng:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\).
Hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3\) nghịch biến trên các khoảng nào ?
Cho hai số thực b và c \(\left( c>0 \right)\). Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\). Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau?
.png)
Tìm nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right)={{x}^{3}}\ln \left( \frac{4-{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}} \right)\) ?
Tính giá trị của biểu thức \(P={{\log }_{a}}\left( a.\sqrt[3]{a\sqrt{a}} \right)\) với \(0<a\ne 1.\)
Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) có đồ thị (C). Chọn mệnh đề sai?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z-1=0.\) Gọi B là điểm đối xứng với A qua \(\left( P \right)\). Độ dài đoạn thẳng AB là
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7 (làm tròn đến chữ số phần nghìn) có dạng \(\overline{0,\,abc}\). Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{x}_{n}} \right)\) có \(\left\{ \begin{matrix} {{x}_{2}}-{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=10 \\ {{x}_{3}}-{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=20 \\ \end{matrix} \right..\) Tìm \({{x}_{1}}\) và công bội q.
Cho số phức \(z=-1+3i\). Phần thực và phần ảo của số phức \(w=2i-3\overline{z}\) lần lượt là:
