Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Gò Vấp lần 2

Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Gò Vấp lần 2

  • Hocon247

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

  • 59 lượt thi

  • Trung bình

Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com

Câu 1: Trắc nghiệm ID: 166824

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?

Xem đáp án

Giả sử số tự nhiên cần tìm có dạng \(\overline{abc}\) .

Do \(a\ne 0\) nên có 9 cách chọn chữ số a. Hai chữ số b và c có \(A_{9}^{2}\) cách chọn.

Vậy có \(9.A_{9}^{2}\) số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.

Câu 2: Trắc nghiệm ID: 166825

Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{1}}=6\) và \({{u}_{3}}=-2\). Giá trị của \({{u}_{8}}\) bằng

Xem đáp án

Từ giả thiết \({{u}_{1}}=6\) và \({{u}_{3}}=-2\) suy ra ta có: \({{u}_{2}}=\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{3}}}{2}=2\Rightarrow d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=2-6=-4\).

Vậy \({{u}_{8}}={{u}_{1}}+7d=-22\).

Câu 4: Trắc nghiệm ID: 166827

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Hàmsố \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm

Xem đáp án

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có

\({f}'\left( x \right)<0, \forall x\in \left( 0\,;3 \right)\) và \({f}'\left( x \right)>0, \forall x\in \left( 3\,;+\infty  \right)\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=3.

\({f}'\left( x \right)>0, \forall x\in \left( -\infty \,;0 \right)\) và \({f}'\left( x \right)<0, \forall x\in \left( 0\,;3 \right)\) suy ra hàm số đạt cực đại tại x=0.

Câu 6: Trắc nghiệm ID: 166829

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 3}}{{2x - 1}}\) là

Xem đáp án

Ta có :

Vì \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5x+3}{2x-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5+\frac{3}{x}}{2-\frac{1}{x}}=\frac{5}{2}\) nên đường thẳng \(y=\frac{5}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vì \(\underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x+3}{2x-1}=+\infty ,  \underset{x\to {{\frac{1}{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{5x+3}{2x-1}=-\infty \) nên đườngthẳng \(x=\frac{1}{2}\) là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.

Vậy độ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. 

Câu 7: Trắc nghiệm ID: 166830

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên:

Xem đáp án

Đồ thị đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) nên loại phương án B và C.

Dựa vào đồ thị, ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow a>0\) nên loại phương án A.

Câu 8: Trắc nghiệm ID: 166831

Đồ thị của hàm số \(y=\frac{x-3}{2x-1}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Xem đáp án

Để tìm tọa độ của giao điểm với trục hoành, ta cho \(y = 0\, \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{2x - 1}} = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Câu 9: Trắc nghiệm ID: 166832

Với a$ là số thực dương tùy ý,  \({{\log }_{5}}\left( \frac{125}{a} \right)\) bằng

Xem đáp án

\({\log _5}\left( {\frac{{125}}{a}} \right) = {\log _5}125 - {\log _5}a = 3 - {\log _5}a\)

Câu 10: Trắc nghiệm ID: 166833

Với x>0, đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{2}}x\) là

Xem đáp án

\(y' = {\left( {{{\log }_2}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln 2}}\)

Câu 11: Trắc nghiệm ID: 166834

Với a là số thực dương tùy ý , \(\sqrt[4]{{{a}^{7}}}\) bằng

Xem đáp án

Ta có \(\sqrt[m]{{{a}^{n}}}={{a}^{\frac{n}{m}}}\) với mọi a>0 và \(m,n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}.\)

Câu 12: Trắc nghiệm ID: 166835

Nghiệm dương của phương trình \({7^{{x^2} + 1}} = 16807\) là

Xem đáp án

\({7^{{x^2} + 1}} = 16807 \Leftrightarrow {7^{{x^2} + 1}} = {7^5} \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right.\)

Câu 13: Trắc nghiệm ID: 166836

Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 3} \right) = 3\) là:

Xem đáp án

Ta có: \({{\log }_{2}}\left( x-3 \right)=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-3 \right)={{\log }_{2}}{{2}^{3}}\Leftrightarrow x-3={{2}^{3}}\Leftrightarrow x=11\).

Câu 14: Trắc nghiệm ID: 166837

Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} - 2\) là:

Xem đáp án

\(\int f \left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {5{x^4} - 2} \right)} \,{\rm{d}}x = {x^5} - 2x + C\)

Câu 15: Trắc nghiệm ID: 166838

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x\). Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?

Xem đáp án

Áp dụng công thức: \(\int{\sin \left( ax+b \right)\text{d}x}=-\frac{1}{a}\cos \left( ax+b \right)+C\).

Ta có: \(\int{f}\left( x \right)\text{d}x=\int{\sin 2x}\,\text{d}x=-\frac{1}{2}\cos 2x+C\).

Câu 16: Trắc nghiệm ID: 166839

Nếu \(\int_{1}^{2}{f}\left( x \right)\text{d}x=-3\) và \(\int_{1}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x=1\) thì \(\int_{2}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x\) bằng

Xem đáp án

Ta có:

\(\int_{1}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x=\int_{1}^{2}{f}\left( x \right)\text{d}x+\int_{2}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x\)

\(\Leftrightarrow \int_{2}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x=\int_{1}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x-\int_{1}^{2}{f}\left( x \right)\text{d}x\)

\(\Leftrightarrow \int_{2}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x=1-\left( -3 \right)=4\)

Câu 17: Trắc nghiệm ID: 166840

Tích phân \(\int_{1}^{2}{x\left( x+2 \right)}~\text{d}x\) bằng

Xem đáp án

\(\int_1^2 {x\left( {x + 2} \right)} \;{\rm{d}}x = \int_1^2 {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \,{\rm{d}}x = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l} 2\\ 1 \end{array} \right. = \frac{{16}}{3}\)

Câu 18: Trắc nghiệm ID: 166841

Số phức liên hợp của số phức \(z=2-3i\) là:

Xem đáp án

Số phức liên hợp \(\overline{z}\) của số phức z=2-3i là \(\overline{z}=2+3i\).

Câu 19: Trắc nghiệm ID: 166842

Cho hai số phức \(z=2+3i\) và \(w=5+i\). Số phức \(z+iw\) bằng

Xem đáp án

\(z + iw = \left( {2 + 3i} \right) + i\left( {5 + i} \right) = 1 + 8i\)

Câu 20: Trắc nghiệm ID: 166843

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 9-5i có tọa độ là

Xem đáp án

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 9-5i có tọa độ là \(\left( 9;5 \right)\).

Câu 21: Trắc nghiệm ID: 166844

Một khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5. Chiều cao của khối chóp đó bằng

Xem đáp án

Chiều cao đáy của khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5 là \(h = \frac{{3V}}{B} = 54\)

Câu 23: Trắc nghiệm ID: 166846

Một khối nón tròn xoay có chiều cao \(h=6\text{ cm}\) và bán kính đáy \(r=5\text{ cm}\). Khi đó thể tích khối nón là:

Xem đáp án

\(V = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.6 = 50\pi c{m^3}\)

Câu 24: Trắc nghiệm ID: 166847

Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là \(l=6~\text{cm}\) và bán kính đường tròn đáy là \(r=5~\text{cm}\). Diện tích toàn phần của khối trụ là

Xem đáp án

\({S_{tp}} = 2{S_{đáy}}{\rm{  +  }}{{\rm{S}}_{Xq}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rl = 2\pi r\left( {r + l} \right) = 110\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)

\({S_{tp}} = 2{S_{đáy}}{\rm{  +  }}{{\rm{S}}_{Xq}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rl = 2\pi r\left( {r + l} \right) = 30\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)

Câu 25: Trắc nghiệm ID: 166848

Trong không gian \(\text{Ox}yz\) cho điểm A thỏa mãn \(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\) với \(\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j}\) là hai vectơ đơn vị trên hai trục Ox, Oy. Tọa độ điểm A là

Xem đáp án

\(\overrightarrow {OA} {\rm{ = 2}}\overrightarrow {\rm{i}} {\rm{ + }}\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow {OA} {\rm{ = }}\left( {{\rm{2}}\,{\rm{;}}\,{\rm{1}}\,{\rm{;}}\,{\rm{0}}} \right) \Rightarrow A\left( {{\rm{2}}\,{\rm{;}}\,{\rm{1}}\,{\rm{;}}\,{\rm{0}}} \right)\)

Câu 26: Trắc nghiệm ID: 166849

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+4z-7=0\). Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Xem đáp án

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 7 = 0\)

\(\Rightarrow a=1;\,b=2;\,c=-2;d=-7\).

⇒ Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=4\) và có tâm \(I\left( 1;2;-2 \right)\).

Câu 28: Trắc nghiệm ID: 166851

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+3z+2=0\) và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Xem đáp án

Vì \(d\bot \left( P \right)\) nên \(\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}\) cùng phương \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\) hay \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-2;3 \right)\) là một vectơ chỉ phương của d

Câu 29: Trắc nghiệm ID: 166852

Hàm số \(y = \frac{{x - 7}}{{x + 4}}\) đồng biến trên khoảng

Xem đáp án

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -4 \right\}\)

Ta có \({y}'=\frac{11}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D\)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-4 \right)\) và \(\left( -4;+\infty  \right)\)

\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( 1;4 \right)\).

Câu 30: Trắc nghiệm ID: 166853

Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?

Xem đáp án

Gọi A là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”, suy ra \(\overline{A}\) là biến cố “4 học sinh được gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ”

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right)=C_{25}^{4}=12650\).

Ta có \(n\left( \overline{A} \right)=C_{15}^{4}+C_{10}^{4}=1575\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=\frac{n\left( \overline{A} \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{63}{506}\).

Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right)=1-P\left( \overline{A} \right)=1-\frac{63}{506}=\frac{443}{506}\).

Câu 31: Trắc nghiệm ID: 166854

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-12x+2\) trên đoạn \(\left[ -1;2 \right].\)

Xem đáp án

Ta có \(y' = 6{x^2} + 6x - 12 = 6\left( {{x^2} + x - 2} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]}\\ {x = - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right]} \end{array}} \right.\)

Ngoài ra \(y\left( { - 1} \right) = 15;y\left( 1 \right) =  - 5;y\left( 2 \right) = 6\) nên M = 15

Câu 32: Trắc nghiệm ID: 166855

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < 7 - 4\sqrt 3 \) là

Xem đáp án

\(\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {7 - 4\sqrt 3 } \right) = 1\)

Nên \({\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < 7 - 4\sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\)

\( \Leftrightarrow a - 1 <  - 1 \Leftrightarrow a < 0\) (do \(7 + 4\sqrt 3  > 1\))

Câu 33: Trắc nghiệm ID: 166856

Cho \(\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx=10}\) và \(\int\limits_{2}^{4}{g\left( x \right)dx=5}\). Tính \(I=\int\limits_{2}^{4}{\left[ 3f\left( x \right)-5g\left( x \right)+2x \right]dx}\)

Xem đáp án

\(I = 3\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx}  - 5\int\limits_2^4 {g\left( x \right)dx}  + \int\limits_2^4 {2xdx}  = 3.10 - 5.5 + 12 = 17\)

Câu 34: Trắc nghiệm ID: 166857

Cho số phức z=2-3i. Môđun của số phức \(\left( 1+i \right)\bar{z}\) bằng

Xem đáp án

\(\left( {1 + i} \right)\bar z = \left( {1 + i} \right)\left( {2 + 3i} \right) =  - 1 + 5i\)

Do đó \(\left( {1 + i} \right)\bar z = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}}  = \sqrt {26} .\)

Câu 35: Trắc nghiệm ID: 166858

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=AD=2\sqrt{2}\) và \(AA'=4\sqrt{3}\) (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng

Xem đáp án

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên \(AA'\bot (ABCD)\). Do đó góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là \(\widehat{ACA'}\).

Vì \(AB=AD=2\sqrt{2}\) nên ABCD là hình vuông có đường chéo \(AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}.\sqrt{2}=4\).

Tam giác ACA' vuông tại A và có \(AA'=4\sqrt{3}, AC=4\) nên \(\tan \widehat{ACA'}=\frac{AA'}{AC}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\).

Suy ra \(\widehat{ACA'}={{60}^{0}}\). Vậy góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}\).

Câu 36: Trắc nghiệm ID: 166859

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 6 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng

Xem đáp án

Gọi \(I=AC\cap BD\).

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 4 nên đáy ABCD là hình vuông cạnh AB=4 và hình chiếu vuông góc của S trên \(\left( ABCD \right)\) là tâm I của hình vuông ABCD.

Do đó, khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng SI

Ta có \(AC=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}\Rightarrow IA=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}\)

Cạnh bên SA=6 và tam giác SAI vuông tại I nên \(SI=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}-{{(2\sqrt{2})}^{2}}}=\sqrt{36-8}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \(2\sqrt{7}\).

Câu 37: Trắc nghiệm ID: 166860

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm là điểm I(2;-3;1) và đi qua điểm \(M\left( 0;-1;2 \right)\) có phương trình là:

Xem đáp án

Mặt cầu tâm là điểm I(2;-3;1) và đi qua điểm \(M\left( 0;-1;2 \right)\) có bán kính là IM.

Ta có \(\overrightarrow{IM}=\left( -2;2;1 \right)\Rightarrow r=IM=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{9}=3\)

Phương trình mặt cầu là: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9.\)

Câu 38: Trắc nghiệm ID: 166861

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( -4;1;-3 \right)\) và \(B\left( 0;-1;1 \right)\) có phương trình tham số là:

Xem đáp án

Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( -4;1;-3 \right)\) và \(B\left( 0;-1;1 \right)\) có vectơ chỉ phương là

\(\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)=2\left( 2;-1;2 \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng (AB) đi qua điểm \(B\left( 0;-1;1 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left( 4;-2;4 \right)=\left( 2;-1;2 \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = - 1 - t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right..\)

Câu 39: Trắc nghiệm ID: 166862

Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \frac{x}{2} \right)\) trên đoạn \(\left[ -5;3 \right]\) bằng

Xem đáp án

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}f'\left( {\frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{2} = - 2\\ \frac{x}{2} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 4\\ x = 2 \end{array} \right.\)

\(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {\frac{x}{2}} \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} <  - 2 \Leftrightarrow x <  - 4\)

Bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ -5;3 \right]\) bằng \(g\left( -4 \right)=f\left( -2 \right)\).

Câu 40: Trắc nghiệm ID: 166863

Có bao nhiêu số tự nhiên y sao cho ứng với mỗi y có không quá 148 số nguyên $x$ thỏa mãn \(\frac{{{3}^{x+2}}-\frac{1}{3}}{y-\ln x}\ge 0\)?

Xem đáp án

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne {e^y}\\ y \ge 0 \end{array} \right.\)

+ Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l} {3^{x + 1}} - \frac{1}{3} \le 0\\ y - \ln x < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le - 3\\ x > {e^y} \ge {e^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset \)

+ Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l} {3^{x + 1}} - \frac{1}{3} \ge 0\\ y - \ln x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 3\\ x < {e^y} \end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(x>0;\,\,{{e}^{y}}\ge {{e}^{0}}=1\). Ta có \(0<x<{{e}^{y}}\)

Để có không quá 148 số nguyên x thì \(1\le {{e}^{y}}\le 149\Leftrightarrow 0\le y\le \ln 149\approx 5,004\)

\(\Rightarrow y\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}\). Có 6 số nguyên y. 

Câu 41: Trắc nghiệm ID: 166864

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x - 1\,\,\,,\,x \ge 5\\ 2x - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,x < 5 \end{array} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {3{e^x} + 1} \right).{e^x}{\rm{d}}x} \) bằng

Xem đáp án

Ta có \(\underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 5 \right)=4\) nên hàm số liên tục tại x=5.

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đặt  \(t=3{{e}^{x}}+1\,\,\Rightarrow \,{{e}^{x}}\text{d}x=\frac{1}{3}\text{d}t\)

Đổi cận : x=0 \(\Rightarrow t= ;   x=\ln 2\Rightarrow t=7\)

Khi đó \(I=\frac{1}{3}\int\limits_{4}^{7}{f\left( t \right)}\text{d}t=\frac{1}{3}\int\limits_{4}^{7}{f\left( x \right)}\text{d}x=\frac{1}{3}\left( \int\limits_{4}^{5}{\left( 2x-6 \right)}\text{d}x+\int\limits_{5}^{7}{\left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)}\text{d}x \right)=\frac{77}{9}\).

Câu 42: Trắc nghiệm ID: 166865

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\left| z+\bar{z} \right|=1\)?

Xem đáp án

Giả sử \(z=x+yi \left( x,\text{ }y\in \mathbb{R} \right) \Rightarrow \bar{z}=x-yi\Rightarrow z+\bar{z}=2x\).

Bài ra ta có

\(\left\{ \begin{array}{l} \left| z \right| = 1\\ \left| {z + \bar z} \right| = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1\\ \left| {2x} \right| = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ x = \pm \frac{1}{2} \end{array} \right.\)

Với \(x=\pm \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{4}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Do đó có 4 số phức thỏa mãn là \({{z}_{1}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, {{z}_{2}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, {{z}_{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, {{z}_{4}}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\).

Câu 43: Trắc nghiệm ID: 166866

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=\sqrt{6}, AD=\sqrt{3}\), tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng \(\left( SAB \right), \left( SAC \right)\) tạo với nhau góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha =\frac{3}{4}\) và cạnh SC=3. Thể tích khối S.ABCD bằng:

Xem đáp án

\({{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{B.SAC}}\). Kẻ BH vuông góc với AC tại H.

Ta có: AC=3,\(BH=\sqrt{2}, \text{ }HC=1\).

\(\left[ -100;100 \right] \Rightarrow KH=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

\(\sin \widehat{SAC}=\frac{KH}{HA}=\frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow \cos \widehat{SAC}=\frac{1}{3}\)

\(S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AS.AC.\cos \widehat{SAC} \Rightarrow SA=2\).

\({{S}_{SAC}}=\frac{1}{2}SA.AC.\sin \widehat{SAC}=\frac{1}{2}.2.3.\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}\)

Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=2.\frac{1}{3}.2\sqrt{2}.\sqrt{2}=\frac{8}{3}\).

Câu 44: Trắc nghiệm ID: 166867

Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng \(1{{\operatorname{m}}^{2}}\) và cạnh \(BC=x\left( \operatorname{m} \right)\) để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM; phần hình chữ nhật BCNM được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).

Xem đáp án

Ta có \(AB.BC=1\Rightarrow AB=\frac{1}{BC}=\frac{1}{x}\left( \operatorname{m} \right)\).

Gọi \(r\left( \operatorname{m} \right)\) là bán kính đáy hình trụ inox gò được, ta có chu vi hình tròn đáy bằng \(BC=x\left( \operatorname{m} \right).\) Do đó \(2\pi r=x\Leftrightarrow r=\frac{x}{2\pi }\left( \operatorname{m} \right)\).

Như vậy \(BM=2r=\frac{x}{\pi }\Rightarrow AM=AB-BM=\frac{1}{x}-\frac{x}{\pi }\left( \operatorname{m} \right)\).

Thể tích khối trụ inox gò được là \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\left( \frac{1}{x}-\frac{x}{\pi } \right)=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}}x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)\) với x>0.

\({f}'\left( x \right)=\pi -3{{x}^{2}}; {f}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\);

\({f}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow x\in \left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)\) và \({f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty  \right)\)

Bởi vậy \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty  \right)\)

Suy ra \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)=\frac{2\pi \sqrt{3\pi }}{9}\Rightarrow {{V}_{\max }}\Leftrightarrow f{{\left( x \right)}_{\max }}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\approx 1,02\left( \operatorname{m} \right)\)

Câu 45: Trắc nghiệm ID: 166868

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 3;3;1 \right), B\left( 0;2;1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-7=0.\) Đường thẳng d nằm trong \(\left( P \right)\) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm \(A,\text{ }B\) có phương trình là các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là \(\left( \alpha  \right):3x+y-7=0.\)

Đường thẳng cần tìm d cách đều hai điểm \(A,\text{ }B\) nên d thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right).\)

Lại có \(d\subset \left( P \right),\) suy ra \(d=\left( P \right)\cap \left( \alpha  \right)\) hay \(d:\left\{ \begin{align} & x+y+z-7=0 \\ & 3x+y-7=0 \\ \end{align} \right..\) Chọn x=t, ta được 

Câu 46: Trắc nghiệm ID: 166869

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\). Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án

Đặt \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\Rightarrow h\left( 0 \right)=0.\)

Ta có \(h'\left( x \right)=2xf'\left( {{x}^{2}} \right)-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & f'\left( {{x}^{2}} \right)=1 \\ \end{align} \right..\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(t=f'\left( x \right)\) ta có phương trình \(f'\left( x \right)=1\) có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó dương. Gọi \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right)=1\)

Suy ra \(f'\left( {{x}^{2}} \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{x}_{0}}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{{{x}_{0}}}.\)

Ta có \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\Rightarrow f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+3b{{x}^{2}}+2cx+d\)

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=+\infty \Rightarrow a>0.\)

Khi đó \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}}\) là hàm bậc 8 và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=+\infty \)

Lập bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số \(g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|\) có 5 điểm cực trị.

Câu 47: Trắc nghiệm ID: 166870

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m>1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn: \({{\left( {{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3 \right)}^{{{\log }_{5}}m}}=x-3\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Xem đáp án

Điều kiện:x>0

Đặt \({{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3=u\) thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được: \({{u}^{{{\log }_{5}}m}}=x-3\Leftrightarrow x={{u}^{{{\log }_{5}}m}}+3\).

Vì \({{u}^{{{\log }_{5}}m}}={{m}^{{{\log }_{5}}u}}\). Từ đó ta có hệ Phương trình \(\left\{ \begin{matrix} u={{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3 \\ x={{u}^{{{\log }_{5}}m}}+3 \\ \end{matrix} \right.\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right)={{m}^{t}}+3\) trên \(\mathbb{R}\)

Do m>1. Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Do đó, \(f\left( {{\log }_{5}}x \right)=f\left( {{\log }_{5}}u \right)\Leftrightarrow x=u\)

Vì thế, ta đưa về xét phương trình: \(x={{m}^{{{\log }_{5}}x}}+3\Leftrightarrow x={{x}^{{{\log }_{5}}m}}+3\Leftrightarrow x-3={{x}^{{{\log }_{5}}m}}\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-3 \right)={{\log }_{5}}\left( {{x}^{{{\log }_{5}}m}} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-3 \right)={{\log }_{5}}x.{{\log }_{5}}m\Leftrightarrow {{\log }_{5}}m=\frac{{{\log }_{5}}\left( x-3 \right)}{{{\log }_{5}}x}\)

Do x>0 nên x-3<x nên \({{\log }_{5}}m=\frac{{{\log }_{5}}\left( x-3 \right)}{{{\log }_{5}}x}<1\Leftrightarrow m<5\).

Suy ra \(\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z} \\ 1<m<5 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 2,3,4 \right\}\)

Vậy, có 3 giá trị tham số m thỏa mãn.

Câu 48: Trắc nghiệm ID: 166871

Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) và đường thẳng \(d:g\left( x \right)=mx+n\) có đồ thị như hình vẽ. Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}\) lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu \({{S}_{1}}=4\) thì tỷ số \(\frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}}\) bằng.

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị như hình vẽ, ta có: \(f\left( x \right)-g\left( x \right)=k.x\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\).

\(g\left( x \right)=x+3\)

\({{S}_{1}}={{S}_{2}}=\int\limits_{-2}^{0}{kx\left( x+2 \right)}\left( x-2 \right)dx=4k\)

\({{S}_{2}}+{{S}_{3}}=\frac{\left( \left| g\left( 0 \right) \right|+\left| g\left( 2 \right) \right| \right).2}{2}=\frac{\left( 3+5 \right).2}{2}=8\)

Vì \({{S}_{1}}=4\Rightarrow {{S}_{2}}=4\Rightarrow {{S}_{3}}=8-4=4\). Vậy \(\frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{3}}}=1\).

Câu 49: Trắc nghiệm ID: 166872

Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=2,\left| \left( 1-i \right){{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\). Giá trị lớn nhất \(\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-2021 \right|\) bằng

Xem đáp án

Đặt \({{z}_{1}}=a+bi,{{z}_{2}}=c+di\) với \(a,b,c,d\in \mathbb{R}.\) Theo giả thiết thì

\(\left| {{z}_{1}} \right|=1\Rightarrow  {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\)

\(\left| \left( 1-i \right){{z}_{2}} \right|=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}} \right|=\frac{\sqrt{6}}{\left| 1-i \right|}=\sqrt{3} \Rightarrow {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=3\)

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}\Rightarrow  {{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}=5\)

Do đó \({{a}^{2}}-2ac+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-2bd+{{d}^{2}}=5\Rightarrow ac+bd=1\)

Ta có \(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( 2a+c \right)+\left( 2b+d \right)i\) nên

\({{\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( 2a+c \right)}^{2}}+{{\left( 2b+d \right)}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)+4\left( ac+bd \right)=23\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|\), ta có

\(\left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-2021 \right|\le \left| 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| -2021 \right|=\sqrt{23}+2021.\)

Câu 50: Trắc nghiệm ID: 166873

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(C\left( -1;2;11 \right),H(-1;2;-1)\), hình nón \(\left( N \right)\) có đường cao CH=h và bán kính đáy là \(R=3\sqrt{2}\). Gọi M là điểm trên đoạn CH,\(\left( C \right)\) là thiết diện của mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với trục CH tại M của hình nón \(\left( N \right)\,.\) Gọi \(\left( {{N}'} \right)\,\) là khối nón có đỉnh H đáy là \(\left( C \right)\). Khi thể tích khối nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón \(\left( {{N}'} \right)\,\) có tọa độ tâm \(I\left( a;b,c \right),\) bán kính là d. Giá trị a+b+c+d bằng

Xem đáp án

Đặt HM=x, 0<x<h. Gọi I,R,r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của nón (N), bán kính đường tròn \(\left( C \right).\) Khi đó ta có CH=h=12 là chiều cao của \((N),R=3\sqrt{2}\).

Khi đó \(C,\,I,\,H\) thẳng hàng (I nằm giữa C,H).

Do tam giác \(\Delta CEM\backsim \Delta CQH\) nên \(\frac{EM}{QH}=\frac{CM}{CH}\Leftrightarrow EM=\frac{QH.CM}{CH}\Leftrightarrow r=EM=FM=\frac{R\left( h-x \right)}{h}\)

Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là \(\left( C \right)\) là

\(V=\frac{1}{3}\pi E{{M}^{2}}.HM=\frac{1}{3}\pi {{\left[ \frac{R\left( h-x \right)}{h} \right]}^{2}}x=\frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x\).

Ta có Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}{{\left( h-x \right)}^{2}}x, \left( 0<x<h \right)\)

\({f}'\left( x \right)=\frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right); {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi \frac{{{R}^{2}}}{{{h}^{2}}}\left( h-x \right)\left( h-3x \right)\Leftrightarrow x=\frac{h}{3}\).

Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là \(\left( C \right)\) lớn nhất khi \(x=\frac{h}{3}\)

Khi đó \(HM=x=\frac{h}{3}=4, r=\frac{R.CM}{h}=\frac{R.(h-x)}{h}=2\sqrt{2}=MF\)

Gọi P là giao điểm của HM với mặt cầu ngoại tiếp nón \(\left( {{N}'} \right)\,.\) Ta có \(\Delta HFP\) vuông tại F\(\Rightarrow H{{F}^{2}}=HM.HP\)

\(\Leftrightarrow H{{M}^{2}}+M{{F}^{2}}=HM.HP\Leftrightarrow 16+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=4.HP\Rightarrow HP=6\)

\(\Rightarrow d=HI=3=\frac{1}{4}HC\Rightarrow \overrightarrow{HI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{HC}\Rightarrow I(-1;2;2)\).

Vậy a+b+c+d=6

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

📝 Đề thi liên quan

Xem thêm »
Xem thêm »

❓ Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »