Có \(A_4^3 = 24\) cách.

\({u_3} = {u_1} + 2d \Rightarrow d = \frac{{{u_3} - {u_1}}}{2} = \frac{{9 - 3}}{2} = 3\)

\({2^{x - 1}} = 8 \Rightarrow x = {\log _2}8 + 1 = 4\)

\(V = B.h \Rightarrow h = \frac{V}{B} = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a\)

Điều kiện: \({x^2} - 7x + 10 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 5\\ x \ne 2 \end{array} \right.\)

Do đó tập xác định là \(R\backslash \left\{ {2;5} \right\}\)

\(\int {f'\left( x \right)} dx = f\left( x \right) + C\)

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

\({S_{xp}} = \pi rl \Rightarrow l = \frac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}} = \frac{{3\pi {a^2}}}{{\pi a}} = 3a\)

\(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {2^3} = \frac{{32\pi }}{3}\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)

Lập bảng biến thiên, thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

\(\log \frac{{{a^3}}}{b} = \log {a^3} - \log b = 3\log a - \log b\)

\({S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.7 + 2\pi {.5^2} = 120\pi \)

\({y_{CT}} = 2\)

Đồ thị hàm trùng phương, qua O(0;0), có a > 0 nên chọn D.

Nhìn vào bảng biến thiên, thấy đường tiệm cận đứng của đồ thị là x = -2.

\({\log _2}\left( {1 + x} \right) < 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + x > 0\\ 1 + x < {2^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ x < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;3} \right)\)

Hai nghiệm nguyên dương là \({x_1} = 1,{x_2} = 2\) nên P = 3

\(f\left( x \right)+2=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2\). Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và y=-2 nên đáp án là C.

\(\int\limits_2^5 {2f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}  = \,2\left[ {\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right] = 2\left( {4 - 3} \right) = 2\)

Có a =2, b = -3 nên ab = -6

\(z = 2 - 10i \Rightarrow \overline z  = 2 + 10i\)

Thấy phần thực bằng 2, phần ảo bằng 1 nên z = 2 + i

Hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là \(\left( {0; - 2;3} \right)\).

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\)

\(d = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{{5\sqrt {29} }}{{29}}\)

d qua A(-1;0;5) và có một vectơ chỉ phương là \(\left( {1; - 3; - 1} \right)\) nên chọn B.

Góc cần tìm bằng \(\widehat{SEO}\). Xét tam giác SEO có \(cos\widehat{SEO}=\frac{OE}{SE}=\frac{\left( \frac{a}{2} \right)}{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \widehat{SEO}=54,{{7}^{0}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 1,x = 2,x =  - 2\)

Lập bảng biến thiên, thấy \({x_{CT}} = 2\)

\(y' = 3{x^2} - 14x + 11,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = \frac{{11}}{3}\left( l \right)\)

Tính \(f\left( 1 \right) = 2,f\left( 0 \right) =  - 3,f\left( 2 \right) =  - 1\) nên m = -3

\({\log _a}b = 3 \Rightarrow b = {a^3}\)

\(P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}}  = {\log _{\frac{{\sqrt {{a^3}} }}{a}}}\sqrt {\frac{{{a^3}}}{a}}  = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}a = 2\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(2{x^3} - {x^2} - 2x + 1 = 2x - 2\) \( \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2} - 4x + 3 = 0\), có 2 nghiệm nên có 2 điểm chung.

Điều kiện: x > 0

\(bpt \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x \le 1\\ {\log _2}x \ge 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le 2\\ x \ge 16 \end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện, được tập nghiệm: \(S = \left( {0;2} \right] \cup \left[ {16; + \infty } \right)\)

Thấy \(r = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 ,l = 3a\sqrt 2 \) nên diện tích toàn phần là 

\({S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2} = 2\pi a\sqrt 2 .3a\sqrt 2  + 2\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 16\pi {a^2}\)

Đặt \(u={{x}^{2}}-1\Rightarrow du=2xdx\).

Đổi cận: \(x=1\Rightarrow u=0,x=2\Rightarrow u=3\).

\(I=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{\sqrt{u}du}\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} + 1 = 3x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 2\).

Diện tích \(S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx}  = \frac{1}{6}\).

\(z = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 + i}} =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)

\( \Rightarrow \left| z \right| = \frac{{\sqrt {26} }}{2}\)

Giải, thấy \({z_0} = 2 + \frac{1}{2}i \Rightarrow i{z_0} =  - \frac{1}{2} + 2i\) nên điểm biểu diễn là \({M_2}\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua A và nhận vectơ pháp tuyến \(\left( 1;-4;1 \right)\) của \(\left( \beta  \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là \(1\left( x-1 \right)-4\left( y-2 \right)+1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow x-4y+z+4=0\)

Một vectơ chỉ phương của \(\Delta ,\,\Delta '\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3;2;1} \right),\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}  = \left( {1;3; - 2} \right)\).

Vì đường thẳng cần viết phương trình vuông góc với \(\Delta ,\,\Delta '\) nên nó nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right] = \left( { - 7;7;7} \right) = 7\left( { - 1;1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Do đó phương trình tham số của nó là đáp án D.

Tập S có \(A_{9}^{4}=3024\) số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, có 3024 cách.

Phân hoạch X thành 3 tập \(\left\{ 1;4;7 \right\},\left\{ 2;5;8 \right\},\left\{ 3;6;9 \right\}\).

*) Số chọn được chia hết cho 6 có các dạng

.) \(\overline{abc2},a+b+c\equiv 1\left( \bmod 3 \right)\), có \(C_{3}^{2}.C_{3}^{1}.3!+C_{3}^{1}.C_{2}^{2}.3!+C_{2}^{1}.C_{3}^{2}.3!=108\) số.

.) \(\overline{abc8},a+b+c\equiv 1\left( \bmod 3 \right)\), có \(C_{3}^{2}.C_{3}^{1}.3!+C_{3}^{1}.C_{2}^{2}.3!+C_{2}^{1}.C_{3}^{2}.3!=108\) số.

.) \(\overline{abc4},a+b+c\equiv 2\left( \bmod 3 \right)\), có \(C_{3}^{2}.C_{3}^{1}.3!+C_{3}^{1}.C_{2}^{2}.3!+C_{3}^{2}.C_{2}^{1}.3!=108\) số.

.) \(\overline{abc6},a+b+c\equiv 0\left( \bmod 3 \right)\), có \(C_{2}^{1}.C_{3}^{1}.C_{3}^{1}.3!+C_{3}^{3}.3!+C_{3}^{3}.3!=120\) số.

Xác suất \(P=\frac{3.108+120}{3024}=\frac{37}{252}\).

Gọi P là trung điểm BC.

Suy ra \(BD{\rm{//}}\left( {MNP} \right) \Rightarrow d\left( {BD,MN} \right) = d\left( {BD,\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{1}{3}.\frac{{AM.{\rm{AF}}}}{{MF}} = \frac{1}{3}.\frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{{10}}\)

\(y' =  - 3{x^2} + 6x + 3m \le 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le {x^2} - 2x,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x,x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x - 2 > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy \(m \le \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) =  - 1\)

Trên thực tế

Ngày đầu tiên, lượng thức ăn tiêu thụ là x.

Ngày thứ hai, lượng thức ăn tiêu thụ là \(x + 4\% x = \left( {1 + 4\% } \right)x\)

Ngày thứ ba, lượng thức ăn tiêu thụ là \(\left( {1 + 4\% } \right)x + 4\% \left[ {\left( {1 + 4\% } \right)x} \right] = {\left( {1 + 4\% } \right)^2}x\)

...

Ngày thứ n, lượng thức ăn tiêu thụ là \({\left( {1 + 4\% } \right)^{n - 1}}x\)

Suy ra \(x + \left( {1 + 4\% } \right)x + {\left( {1 + 4\% } \right)^2}x + ... + {\left( {1 + 4\% } \right)^{n - 1}}x = 100x\)

\(x.\frac{{{{\left( {1 + 4\% } \right)}^n} - 1}}{{\left( {1 + 4\% } \right) - 1}} = 100x \Rightarrow n = {\log _{\left( {1 + 4\% } \right)}}\left( {100.4\% + 1} \right) = 41\)

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2020\). Bảng biến thiên của g(x).

Do đó hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có 3 điểm cực trị.

\(\frac{{SD}}{{SD + 36}} = \frac{9}{{21}} \Rightarrow SD = 27 \Rightarrow {S_{tp}} = \pi .21.63 - \pi .9.27 + \pi {.9^2} + \pi {.21^2} = 1602\pi \)

\(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {3x - 2} \right|} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^{\frac{2}{3}} {f\left( {2 - 3x} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{2}{3}}^1 {f\left( {3x - 2} \right)dx} \)

\( = \int\limits_5^0 {f\left( t \right)\frac{{dt}}{{ - 3}}}  + \int\limits_0^1 {f\left( h \right)\frac{{dh}}{3}} \)

\( = \frac{1}{3}\int\limits_0^5 {f\left( t \right)dt}  + \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{3}\left[ {\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt}  + 2\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{3}\left( {9 + 2.3} \right) = 5\)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\), ta có phương trình f(t) = 1 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = {t_0} \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - 1\\ \sin x = {t_0} \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\).

sin x =  - 1 có 1 nghiệm trong \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

\(\sin x = {t_0} \in \left( {0;1} \right)\) có 3 nghiệm trong \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Do đó, phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Ta có \({\left( {2b - 1} \right)^2}\left( {b + 1} \right) \ge 0 \Rightarrow 3b - 1 \le 4{b^3} \Rightarrow \frac{{3b - 1}}{4} \le {b^3}\). Vì \(\frac{1}{3} < b < a < 1\) nên \({\log _a}b > 1\).

Suy ra \(P \ge {\log _a}{b^3} + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}\frac{b}{a}} \right)}^2}}} - 3 \ge 3\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\)

\( \ge \frac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \frac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) + \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}\)

\( \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\frac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right).\frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}}}} \ge 9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} 2b - 1 = 0\\ \frac{3}{2}\left( {{{\log }_a}b - 1} \right) = \frac{{12}}{{{{\left( {{{\log }_a}b - 1} \right)}^2}}} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \frac{1}{2}\\ a = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \end{array} \right.\)

Đặt \(g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+3mx-30}{3x-10}\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{9{{x}^{2}}-60x-30m+90}{{{\left( 3x-10 \right)}^{2}}}\)

Ta có \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge 0\), vì \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)+\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=3$ nên \(\Rightarrow \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\le 3\). Mà \(f\left( 0 \right)=3\) nên \(\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=2=f\left( 0 \right)\Rightarrow g'\left( 0 \right)=0\Rightarrow m=3\).

Với m=3 thì \(g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+9x-30}{3x-10}\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{9{{x}^{2}}-60x}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow x=0,x=\frac{20}{3}\left( l \right)\)

Bảng biến thiên

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 3\) (thỏa).

Vậy tập S có 1 giá trị.

\({V_{S.PQC'}} = \frac{1}{3}.2.2.2.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{8}{3}\)

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{V_{BAC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}\)

Nên \({V_{ABCPQC'}} = {V_{S.PQC'}} - {V_{S.ABC}} = \frac{7}{3}\)

Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = {3^t}\\ {x^2} + {y^2} = {4^t} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = {3^t}\\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {4^t} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = {3^t}\\ xy = {\frac{{{9^t} - 4}}{2}^t} \end{array} \right.\)

Điều kiện tồn tại x, y là \({\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0 \Leftrightarrow {9^t} - 2.({9^t} - {4^t}) \ge 0 \Leftrightarrow {2.4^t} \ge {9^t} \Leftrightarrow 2 \ge {\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} \Leftrightarrow t \le {\log _{\frac{9}{4}}}2 \approx 0,85\)

\(P = {x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = {27^t} - 3.{\frac{{{9^t} - 4}}{2}^t}{.3^t} = \frac{{{{3.12}^t} - {{27}^t}}}{2}\)

\(P' = \frac{{{{3.12}^t}.\ln 12 - {{27}^t}.\ln 27}}{2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} = \frac{{\ln 27}}{{3.\ln 12}} \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{4}{9}}}\left( {\frac{{\ln 27}}{{3.\ln 12}}} \right) \approx 1\)

Do đó tổng các giá trị nguyên là 1 + 2 + 3 + 4 = 10