Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 2
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 2
-
Hocon247
-
50 câu hỏi
-
90 phút
-
70 lượt thi
-
Trung bình
Tham gia [ Hs Hocon247.com ] - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến để được học tập những kiến thức bổ ích từ HocOn247.com
Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
Áp dụng quy tắc cộng:
Số cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó là 8 + 6 + 10 = 24.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{9}}=5{{u}_{2}}\) và \({{u}_{13}}=2{{u}_{6}}+5.\) Khi đó số hạng đầu \({{u}_{1}}\) và công sai d bằng
\(\left\{ \begin{array}{l} {u_9} = 5{u_2}\\ {u_{13}} = 2{u_6} + 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} \right)\\ {u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} \right) + 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{u_1} - 3d = 0\\ {u_1} - 2d = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 3\\ d = 4 \end{array} \right.\)
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hàm số đã cho đồng biến trên (0;1)
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
Dựa vào bảng biến thiên chọn B
Cho hàm số g(x), bảng xét dấu của g'(x) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Dựa vào bảng xét dấu f'(x) ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; x = 1 và đạt cực đại tại x = 0
Vậy hàm số có 3 cực trị.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 1}}\) là
TCN: \(y = \frac{a}{c} = 3\)
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ bên dưới?
Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hàm bậc ba nên loại câu B, C.
Mặt khác giao điểm của đồ thị với trục tung tại điểm có tung độ âm nên loại câu D.
Cho hàm số bậc bốn \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ
Số nghiệm của phương trình \(f(x)=-1\) là:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hai hàm số: y = f(x) và y = -1. Suy ra số nghiệm là 4
Cho a, b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Áp dụng công thức logarit của lũy thừa \(\ln {a^\alpha } = \alpha \ln a.\)
Cho hàm số \(y = {3^{x + 1}}\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có \({y}'={{3}^{x+1}}\ln 3\) nên \({y}'(1)=9\ln 3\).
Với a là số thực dương tùy ý, \(\sqrt {{a^5}} \) bằng
\(\sqrt {{a^5}} = {a^{\frac{5}{2}}}\)
Tìm nghiệm của phương trình \({\log _{25}}(x + 1) = \frac{1}{2}\)
ĐK: x > -1
\({\log _{25}}(x + 1) = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 4.\)
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 4} \right) = 2\) là
ĐKXĐ: \(x - 4 > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,x > 4\).
\({\log _3}\left( {x - 4} \right) = 2\,\, \Leftrightarrow \,\,x - 4 = 9\,\, \Leftrightarrow \,\,x = 13\) (thỏa mãn ĐKXĐ).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 1\) là
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {3{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{{3{x^3}}}{3} + x + C = {x^3} + x + C\)
Biết \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x={{\text{e}}^{x}}+\sin x+C}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + \sin x + C} \Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {{{\rm{e}}^x} + \sin x + C} \right)^\prime } \Rightarrow f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + \cos x\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=9;\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x\)?
\(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_2^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9 + 4 = 13\)
Tích phân \(\int\limits_0^3 {(2x + 1)dx} \) bằng
\(\int\limits_0^3 {(2x + 1)dx} = \left. {({x^2} + x)} \right|_0^3 = 12\)
Cho \({{z}_{1}}=4-2i\). Hãy tìm phần ảo của số phức \({{z}_{2}}={{\left( 1-2i \right)}^{2}}+\overline{{{z}_{1}}}\).
Ta có \({{z}_{2}}={{\left( 1-2i \right)}^{2}}+\overline{{{z}_{1}}}=-3-4i+4+2i=1-2i\).
Vậy phần ảo của số phức \({{z}_{2}}\) là -2.
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=4-3i\) và \({{z}_{2}}=7+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}\)
\(z = {z_1} - {z_2} = (4 - 3i) - (7 + 3i) = (4 - 7) + ( - 3i - 3i) = - 3 - 6i.\)
Cho số phức \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) có phần thực khác 0. Biết số phức \(w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}\) là số thuần ảo. Tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R};x\ne 0 \right)\)
Mặt khác \(w=i{{z}^{2}}+2\overline{z}=i{{\left( x+yi \right)}^{2}}+2\left( x-yi \right)=2\left( x-xy \right)+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2y \right)i\)
Vì w là số thuần ảo nên x-xy=0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\,\,{\rm{(L)}}\\ y - 1 = 0\,\,(N) \end{array} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình y-1=0 (trừ điểm \(M\left( 0;1 \right)\)), do đó đường thẳng này đi qua điểm \(Q\left( 1;1 \right)\).
Cho khối chóp có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
\(V=\frac13.B.h=10\)
Tính thể tích khối hộp chữ nhật có các kích thước b, 2b, 3b
V = b.2b.3b = 6b3
Một hội nghị bàn tròn có các phái đoàn gồm 3 người Anh, 5 người Pháp, 7 người Mỹ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên, sao cho những người có cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau:
Phái đoàn gồm 3 người Anh, 5 người Pháp, 7 người Mỹ chia làm ba nhóm có 2 cách xếp theo nhóm là Mỹ – Anh – Pháp, Mỹ - Pháp – Anh.
Trong nhóm người Anh có 3.2.1 = 6 cách xếp.
Trong nhóm người Pháp 5!=120 cách xếp .
Trong nhóm người Mỹ có 7!=5040 cách xếp.
Vậy có 2.6.120.5040=7257600 cách chọn.
Trong khai triển \({\left( {8{a^2} - \dfrac{1}{2}b} \right)^6}\) hệ số của số hạng chứa \({a^6}{b^3}\) là:
Theo nhị thức Newton, ta có \(C_6^k.{\left( {8{a^2}} \right)^{6 - k}}.{\left( { - \dfrac{1}{2}b} \right)^k}\)có chứa \({a^6}{b^3}\) , suy ra k = 3 nên hệ số đó là \(C_6^3{.8^3}.\left( { - {{\dfrac{1}{2}}^3}} \right).{a^6}{b^3} = - 1280{a^6}{b^3}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\text{Oxyz}\), cho ba điểm A(-1;0;0) , B(0;-2;0) và C(0;0;3) . Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C có phương trình là
Mặt phẳng đoạn chắn có phương trình là \(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{3} = 1\)
Thể tích của khối cầu (S) có bán kính \(R=\frac{\sqrt{3}}{2}\) bằng
\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 \pi }}{2}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+z-5=0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?
Đặt f(x;y;z)=x-2y+z-5.
Với phương án A: Ta có
\(f(2;-1;5)=2-2(-1)+5-5\ne 0\) nên điểm Q không thuộc mặt phẳng (P).
Với phương án B:
\(f(0;0;-5)\ne 0\) nên điểm P không thuộc mặt phẳng (P)
Với phương án C:
\(f(-5;0;0)\ne 0\) nên điểm Q không thuộc mặt phẳng (P)
Với phương án D: f(1;1;6)=0 nên điểm M nằm trên mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x+y-z-1=0 và (Q):x-2y-5=0. Khi đó giao tuyến của (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{u_p}} ,\overrightarrow {{u_Q}} } \right] = (1;3;5)\)
Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường, không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D.
Trường hợp 1: đi từ A đến B, từ B đến D có 3.2=6.
Trường hợp 2: đi từ A đến C, đi từ C đến D có 2.3=6.
Vậy có 6 + 6 = 12 con đường đi từ A đến D.
Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại điểm thứ hai khác \(M\)là \(N\) Tọa độ điểm \(N\) là:
Xét hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) có \(y - = 3{x^2} - 1\). Tại điểm M(1;3) có
\(y'\left( 1 \right) = 3{\left( 1 \right)^2} - 1 = 2\)
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điêm M là:
\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 3\) hay \(y = 2x + 1\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến có phương trình \(y = 2x + 1\) và hàm số . Ta có
\({x^3} - x + 3 = 2x + 1 \)
\(\Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 1\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - {1 \over {\sqrt x }}} \right)^3}\) Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\\f'\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{3}{2}\left( {x - 2 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\end{array}\)
\(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - {1 \over x}\) Xét hai mệnh đề:
(I): \(y'' = f''\left( x \right) = {2 \over {{x^3}}}\)
(II): \(y''' = f'''\left( x \right) = - {6 \over {{x^4}}}\)
Mệnh đề nào đúng?
\(y = f\left( x \right) = - \dfrac{1}{x}\)
\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = - \dfrac{1}{x}\\y' = f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\\y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x^3}}}\\y''' = f'''\left( x \right) = - \dfrac{{6{x^2}}}{{{x^6}}} = \dfrac{6}{{{x^4}}}\end{array}\)
Nếu \(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 8\) thì \(\int\limits_1^3 {\left[ {\frac{1}{2}f\left( x \right) + 1} \right]dx} \) bằng
\(\int\limits_1^3 {\left[ {\frac{1}{2}f\left( x \right) + 1} \right]dx} = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {dx} = \frac{1}{2}.8 + 2 = 6\)
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-3i{{,}^{{}}}{{z}_{2}}=1+i.\) Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
\(z = {z_1} + {z_2} = \left( {2 - 3i} \right) + \left( {1 + i} \right) = \left( {2 + 1} \right) + \left( { - 3 + 1} \right)i = 3 - 2i.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,\(BC=a\sqrt{3}\),AC=2a.Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt{3}\). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
+ Ta có:\(\left( SB,(ABC) \right)=\left( SB,BA \right)=\widehat{SBA}=\varphi \) (Vì AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\))
+ Tính: \(\tan \varphi =\frac{SA}{AB}\)
+ Tính: \(AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}}=a\).
Suy ra: \(\tan \varphi =\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \varphi ={{60}^{{}^\circ }}\)
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng \(60{}^\circ \).
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SD = 2a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
Do \(SA \bot \left( {BACD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm A, suy ra \(\left( {SC,(ABCD)} \right) = \left( {SC,AC} \right)\)
Ta có
\(SA = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = \sqrt 3 a\,,\,AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
\(\,\, \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)2+(y+1)2+z2 = 9. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
R2 = 9 ⇔ R = 3
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,1 \right)\) và \(B\left( 5\,;\,2\,;\,-3 \right)\). Đường thẳng AB có phương trình tham số là:
+ Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 3\,;\,-1\,;\,-4 \right)\)
+ Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left( 3\,;\,-1\,;\,-4 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,1 \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = 3 - t\\ z = 1 - 4t \end{array} \right.\)
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên.
Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;3] bằng:
Nhận thấy trên đoạn [-2;3] đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ (3;4)
⇒ giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [-2;3] bằng 4
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình \({8^x}{.2^{1 - {x^2}}} > {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2x}}\)
Bất phương trình \({{8}^{x}}{{.2}^{1-{{x}^{2}}}}>{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2x}}\Leftrightarrow {{2}^{3x}}{{.2}^{1-{{x}^{2}}}}>{{2}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{3x+1-{{x}^{2}}}}>{{2}^{x}}\)
\(\Leftrightarrow 3x+1-{{x}^{2}}>x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-1<0\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left( 1-\sqrt{2};1+\sqrt{2} \right)\).
Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là \(\left\{ 1;2 \right\}.\)
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục và thoả mãn \(f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\) với \(x\in \left[ \frac{1}{2};2 \right]\). Tính \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}\).
Đặt \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}\)
Với \(x\in \left[ \frac{1}{2};2 \right], f\left( x \right)+2f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)}{x}+2\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}=3\) .
\(\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}}\text{d}x+2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{3}\text{d}x\,\,\,\,\,(1)\)
Đặt \(t=\frac{1}{x}\Rightarrow \text{d}t=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\text{d}x\Rightarrow -\frac{1}{t}\text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x\).
\(2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( \frac{1}{x} \right)}{x}\text{d}x}=2\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( t \right)}{t}}\text{d}t=2I\)
\(\left( 1 \right)\Rightarrow 3I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{3}\text{d}x\Rightarrow I=\frac{3}{2}.\)
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\left| 1+\frac{5i}{2} \right|\)
\(A = \left| {1 + \frac{{5i}}{z}} \right| \le \left| 1 \right| + \left| {\frac{{5i}}{z}} \right| = 1 + \frac{5}{{\left| z \right|}} = 6\)
Khi \(z = i \Rightarrow A = 6\)
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, \(\widehat{BAC}=120{}^\circ , AB=a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Thể tích khối chóp đã cho bằng
Tam giác ABC cân tại A nên AC=AB=a.
\({{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}.a.a.\sin 120{}^\circ =\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).
\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\vartriangle ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\).
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({{v}_{1}}\left( t \right)=7t\left( \text{m/s} \right)\). Đi được \(5\left( \text{s} \right)\), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a=-70\left( \text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}} \right)\). Tính quãng đường \(S\left( \text{m} \right)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: \({{v}_{1}}\left( 5 \right)=35\left( m/s \right)\).
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: \({{v}_{2}}\left( t \right)=-70t+C\). Do \({{v}_{2}}\left( 0 \right)=35\Rightarrow C=35\Rightarrow {{v}_{2}}\left( t \right)=-70t+35\).
Khi xe dừng hẳn tức là \({{v}_{2}}\left( t \right)=0\Rightarrow -70t+35=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}\).
Quãng đường \(S\left( m \right)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:
\(S\left( m \right)=\int\limits_{0}^{5}{7t.\,dt}+\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\left( -70t+35 \right)\,dt}=96,25\left( m \right)\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\) cắt hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) theo thiết diện là hình gì?
Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right),A'M\) cắt \(B'B\) tại \(I\).
Trong mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right),IC'\) cắt \(BC\) tại \(N\).
Tứ giác \(A'MNC'\) là thiết diện cần tìm.
Ta có: \(M\) là trung điểm \(IA'\).
Mà \(BN//B'C' \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IB'}} = \dfrac{{IN}}{{IC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow N\) là trung điểm \(IC'\).
Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(IA'C' \Rightarrow MN//A'C' \Rightarrow MNC'A'\) là hình thang.
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục và có bảng biến thiên trên \(\mathbb{R}\) như hình vẽ bên dưới
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left( \cos x \right)\)
Đặt \(t=\cos x\Rightarrow -1\le t\le 1\Rightarrow y=f\left( t \right)\) có giá trị lớn nhất bằng 5 trên \(\left[ -1;1 \right]\) (suy ra từ bảng biến thiên).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left( \cos x \right)\) bằng 5.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({{4}^{\sin x}}+{{2}^{1+\sin x}}-m=0\) có nghiệm.
Đặt \(t={{2}^{\sin x}}\), điều kiện \(\frac{1}{2}\le t\le 2\)
Phương trình trở thanh \({{t}^{2}}+2t-m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t=m\)
Xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{2}}+2t\) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\), ta có \(f'\left( t \right)=2t+2>0,\text{ }\forall t\in \left( \frac{1}{2};2 \right).\)
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2};2 \right]\)
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\le m\le \underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\)
\(\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{2} \right)\le m\le f\left( 2 \right)\Leftrightarrow \frac{5}{4}\le m\le 8.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì \(S \in \left( {SAD} \right)\) và \(S \in \left( {SBC} \right)\) nên \(S \in d\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD//BC\\d = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d//AD//BC\)
Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\) và biểu thức \(M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z+i.
Gọi \(z=x+yi,\left( x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R} \right)\)
Ta có:
\(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5\): tâm \(I\left( 3;4 \right)\) và \(R=\sqrt{5}\).
Mặt khác:
\(M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-\left[ \left( {{x}^{2}} \right)+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]\)
\(=4x+2y+3\Leftrightarrow d:4x+2y+3-M=0\)
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và \(\left( C \right)\) có điểm chung
\(\Leftrightarrow d\left( I;d \right)\le R\Leftrightarrow \frac{\left| 23-M \right|}{2\sqrt{5}}\le \sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow \left| 23-M \right|\le 10\Leftrightarrow 13\le M\le 33\)
\( \Rightarrow {M_{\max }} = 33 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x + 2y - 30 = 0\\ {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5\\ y = 5 \end{array} \right. \Rightarrow z + i = 5 + 6i \Rightarrow \left| {z + i} \right| = \sqrt {61} \)
Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+2z+1=0, \left( Q \right):2x+y+z-1=0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 và \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu.
* Gọi I là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Do \(I\in Ox\) nên ta có \(I\left( a;0;0 \right)\).
* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính 2 nên ta có:
\(4={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow 4={{R}^{2}}-\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\Rightarrow {{R}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 1 \right)\)
* Do \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r nên ta có:
\({{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I;\left( P \right) \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\text{ }\left( 2 \right)\)
* Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có:
\({{r}^{2}}=4+\frac{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{6}-\frac{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}}{6}\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}+6a+24-6{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}+2a+8-2{{r}^{2}}=0\text{ }\left( 3 \right)\)
* Để có duy nhất một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu điều kiện là phương trình \(\left( 3 \right)\) có duy nhất một nghiệm a với r>0 nên điều kiện là:
\({\Delta }'=9-2{{r}^{2}}=0\Leftrightarrow r=\frac{3\sqrt{2}}{2}\).