Áp dụng công thức trọng tâm ta được toạ độ điểm G(2;1). Vậy số phức \(z=2+i\).

\(\left( {1 + i} \right)z + 2\overline z  = 3 + 2i.\left( 1 \right)\). Ta có: \(z = a + bi  \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Thay vào (1) ta được \(\left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a - bi} \right) = 3 + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)i + \left( {3a - b} \right) = 3 + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = 2\\
3a - b = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2}\\
b =  - \frac{3}{2}.
\end{array} \right. \Rightarrow P =  - 1.\)

Ta có: \(z = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \Rightarrow {z^2} = \frac{{ - 1}}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\). Vậy \(1 + z + {z^2} = 0\).

Ta có \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)

Vậy \(\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} - 2 + i  \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \left( {\frac{{\sqrt {10} }}{{{{\left| z \right|}^2}}}} \right).\overline z \)

\( \Rightarrow {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \left( {\frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^4}}}} \right).{\left| z \right|^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}.\) Đặt \(\left| z \right| = a > 0.\)

\( \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {2a - 1} \right)^2} = \left( {\frac{{10}}{{{a^2}}}} \right) \Leftrightarrow {a^4} + {a^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
{a^2} =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1.\)

Ta có: \({z_1}^2 + {z_1} + 1 = 0 \Rightarrow {z_1}^3 - 1 = 0 \Rightarrow {z_1}^3 = 1 \Rightarrow {z_1}^{2016} = 1 \Rightarrow {z_1}^{2017} = {z_1}\) 

Chứng minh tương tự: \({z_2}^{2017} = {z_2}\) 

.\( \Rightarrow P = {z_1} + {z_2} =  - 1\)

Ta có \(\left( { - 1 + 4i} \right)x + {\left( {1 + 2i} \right)^3}y = 2 + 9i \Leftrightarrow \left( { - 1 + 4i} \right)x + \left( {1 + 6i - 12 - 8i} \right)y = 2 + 9i\)

\( \Leftrightarrow  - x - 11y + (4x - 2y)i = 2 + 9i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - x - 11y = 2\\
4x - 2y = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{95}}{{46}}\\
y = \frac{{ - 17}}{{46}}
\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}
\left( {2 - i} \right)\bar z - 3z =  - 1 + 3i \Leftrightarrow \left( {2 - i} \right)\left( {a - bi} \right) - 3\left( {a + bi} \right) =  - 1 + 3i \Leftrightarrow \left( { - a - b} \right) + \left( { - a - 5b} \right)i =  - 1 + 3i\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - a - b =  - 1\\
 - a - 5b = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b =  - 1
\end{array} \right. \Rightarrow a - b = 3
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{z^4} - 2{z^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z^2} = 4\\
{z^2} =  - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z =  \pm 2\\
z =  \pm i\sqrt 2 
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow A\left( {2;0} \right);\,B\left( { - 2;0} \right);\,C\left( {0;\,\sqrt 2 } \right);\,D\left( {0;\, - \sqrt 2 } \right)\\
 \Rightarrow OA = OB = 2;\,OC = OD = \sqrt 2  \Rightarrow OA + OB + OC + OD = 4 + 2\sqrt 2 .
\end{array}\)

Đặt \(z = a + bi (a,b \in R)\). Ta có:

\(z + \left( {2 + i} \right)\bar z = 3 + 5i \Leftrightarrow a + bi + (2 + i)(a - bi) = 3 + 5i \Leftrightarrow 3a + b + (a - b)i = 3 + 5i\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a + b = 3\\
a - b = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b =  - 3
\end{array} \right.\). Phần thực của z bằng 2.

Ta có \(z_1, z_2\) là hai nghiệm của phương trình: \({z^2} - z + 2 = 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = 1\\
{z_1}{z_2} = 2
\end{array} \right.\).

Ta có \({\left[ {\left( {i - {z_1}} \right)\left( {i - {z_2}} \right)} \right]^{2017}} = {\left[ {{z_1}{z_2} - i\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + {i^2}} \right]^{2017}} = {\left( {2 - i - 1} \right)^{2017}} = {\left( {1 - i} \right)^{2017}}\)

\( = {\left( {1 - i} \right)^{2016}}\left( {1 - i} \right) = {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1008}}\left( {1 - i} \right) = {\left( { - 2i} \right)^{1008}}\left( {1 - i} \right) = {2^{1008}}\left( {1 - i} \right) = {2^{1008}} - {2^{1008}}i\)

Vậy phần thực của \({\left[ {\left( {i - {z_1}} \right)\left( {i - {z_2}} \right)} \right]^{2017}}\) là \(  {2^{1008}}\).

Cần nhờ lại định nghĩa: Điểm M(a;b) trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức \(z=a+bi\) 

Từ hình vẽ ta suy ra điểm \(M(2; - 3) \Rightarrow z = 2 - 3i\)

Nên phần thực của số phức là 2 và phần ảo là - 3.

Đặt \(z = x + iy{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right) \Rightarrow (1 - 3i)(x + iy) = x + 3y + (y - 3x)i \in R \Leftrightarrow y - 3x = 0\).

\(\left| {\bar z - 2 + 5i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x - iy - 2 + 5i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 1\).

Ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 1\\
y = 3x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {3x - 5} \right)^2} = 1\\
y = 3x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 6
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{7}{5}\\
y = \frac{{21}}{5}
\end{array} \right.\).

Ta thấy \(z = i(3i + 1) = 3{i^2} + i =  - 3 + i\), suy ra \(\bar z = -3 - i\)

\(z(1 + 2i) = 4 - 3i \Leftrightarrow z = \frac{{4 - 3i}}{{1 + 2i}} = \frac{{ - 2}}{5} - \frac{{11}}{5}i \Rightarrow \bar z = \frac{{ - 2}}{5} + \frac{{11}}{5}i\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{i^5} = {({i^2})^2}.i = i\\
{i^{11}} = {({i^2})^5}.i =  - i
\end{array} \right..\) Từ đó \(\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} = 9{y^2} - 4 - 10x{i^5} = \left( {9{y^2} - 4} \right) + \left( { - 10x} \right)i\\
{z_2} = 8{y^2} + 20{i^{11}} = 8{y^2} + \left( { - 20} \right)i
\end{array} \right..\)

\(z_1, z_2\) là liên hợp của nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{y^2} - 4 = 8{y^2}\\
 - 10x = 20
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y^2} = 4\\
x =  - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x =  - 2
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
y =  - 2\\
x =  - 2
\end{array} \right..\)

\(z + \frac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i.\sin \frac{\pi }{3}\\
z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i.\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)
\end{array} \right.\)

TH1: Với \(z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) thì \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

 Khi đó: \({z^{2017}} = \cos \frac{{2017\pi }}{3} + i.\sin \frac{{2017\pi }}{3} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

và \(\frac{1}{{{z^{2017}}}} = \cos \frac{{2017\pi }}{3} - i.\sin \frac{{2017\pi }}{3} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\). Suy ra: \({z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}} = 1\).

TH2: Như trường hợp 1.

\(\begin{array}{l}
z\left( {2 - i} \right) + 13i = 1 \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 13i}}{{2 - i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 - 13i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}} \Leftrightarrow z = 3 - 5i\\
\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = \sqrt {34} .
\end{array}\)

Ta có \(w = \left( {1 + i} \right)\left( {2 - 3i} \right) - \left( {2 + 3i} \right) = 3 - 4i \Rightarrow \left| w \right| = 5\)

Đặt \(z=a+bi, a,\,\,b \in R\).

\(\begin{array}{l}
\left( {2 + 3i} \right)z - \left( {1 + 2i} \right)\overline z  = 7 - i \Leftrightarrow \left( {2 + 3i} \right)\left( {a + bi} \right) - \left( {1 + 2i} \right)\left( {a - bi} \right) = 7 - i\\
 \Leftrightarrow 2a - 3b + \left( {3a + 2b} \right)i - a - 2b - \left( {2a - b} \right)i = 7 - i \Leftrightarrow a - 5b + \left( {a + 3b} \right)i = 7 - i\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - 5b = 7\\
a + 3b =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

Gọi \(z=x+yi, x,\,y \in R\).

Ta có: \((3 - 2i)\overline z  - 4(1 - i) = (2 + i)z  \Leftrightarrow (3 - 2i)(2 - i)\overline z  - 4(1 - i)(2 - i) = 5z\)

\( \Leftrightarrow (4 - 7i)(x - yi) - 5(x + yi) = 4 - 12i \Leftrightarrow ( - x - 7y) - (7x + 9y)i = 4 - 12i\).

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 7y =  - 4\\
7x + 9y = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y =  - 1
\end{array} \right.\) 

Vậy \(z=3-i\) nên \(\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2}}  = \sqrt {10} \) 

Gọi \(z=x+yi, x,\,y \in R\).

Ta có: \(\left| {z - 2 - 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {(x - 2) + (y - 2)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} = 1\)

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm I(2;2) và bán kính R = 1.

\(\left| {z - i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = NM\) với N(0;1) là tâm đường tròn M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đoạn thẳng nối hai điểm \(N\left( {0;1} \right) \in Oy,I\left( {2;2} \right)\) với đường tròn (C).

\(N{M_{\min }} = IN - R = \sqrt 5  - 1\)

Ta có \({z_2} - i{z_1} = \left( {2 + 3i} \right) - i\left( {1 - i} \right) = 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2} - i{z_1}} \right| = \sqrt 5 \)

Gọi \(z = a + bi,\,\,\left( {a.\,\,b \in R} \right) \Rightarrow \bar z = a - bi\).

Khi đó: \(2z = i\left( {\overline z  + 3} \right) \Leftrightarrow 2a + 2bi = ai + b + 3i $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2b = a + 3\\
2a = b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 + 2i\)

Từ đó suy ra \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\)

Ta có \(3iz + 3 + 4i = 4z \Leftrightarrow z = \frac{{3 + 4i}}{{4 - 3i}} = i\). Suy ra \(3z + 4 = 3i + 4 \Rightarrow \left| {3z + 4} \right| = \left| {3i + 4} \right| = 5\).

Đặt \(z = a + bi,\,\,\left( {a,\,\,b \in R} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} \le 1\) (do \(\left| z \right| \le 1\))

\(\left| A \right| = \left| {\frac{{2z - i}}{{2 + iz}}} \right| = \left| {\frac{{2a + \left( {2b - 1} \right)i}}{{2 - b + ai}}} \right| = \sqrt {\frac{{4{a^2} + {{\left( {2b - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2 - b} \right)}^2} + {a^2}}}} \)

Ta chứng minh. \(\frac{{4{a^2} + {{\left( {2b - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2 - b} \right)}^2} + {a^2}}} \le 1\)

Thật vậy ta có \(\frac{{4{a^2} + {{\left( {2b - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2 - b} \right)}^2} + {a^2}}} \le 1 \Leftrightarrow 4{a^2} + {\left( {2b - 1} \right)^2} \le {\left( {2 - b} \right)^2} + {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \le 1\)

Dấu “=” xảy ra khi \({a^2} + {b^2} = 1\).

Vậy \(\left| A \right| \le 1\).

Giả sử \(z = x + yi,\,\,(x,\,\,y \in R)  \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

\(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\)  (1)

\( \Rightarrow \) điểm biểu diễn M(x;y) của số phức z trong mặt phẳng Oxy luôn thuộc đường tròn (C) có phương trình (1), (C) có tâm I(4;-3) bán kính R = 3. Mà \(\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM\)

Suy ra \(\left| z \right|\) lớn nhất \( \Leftrightarrow M \in \left( C \right)\) sao cho OM lớn nhất \(\Leftrightarrow\) điểm I thuộc đoạn OM

- Phương trình đường thẳng OM là \(y =  - \frac{3}{4}x\)

- Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm của OM và (C) ta được \(x = \frac{8}{5},y =  - \frac{6}{5}\) hoặc \(x = \frac{{32}}{5},y =  - \frac{{24}}{5}\). So sánh \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) suy ra số phức có mô đun lớn nhất là \(\left| {{z_0}} \right| = 8\).

\(z = a + bi\) và \(\overline z  = a - bi\) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z  = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\).

Ta có \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow z =  - 1 \pm 2i\). Khi đó: \(M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right| = \left| {{{\left( { - 1 + 2i} \right)}^2}} \right| + \left| {{{\left( { - 1 - 2i} \right)}^2}} \right| = 10\).

Xét phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0\) có \(\Delta ' = 64 - 4.17 =  - 4 = {\left( {2i} \right)^2}\).

Phương trình có hai nghiệm \({z_1} = \frac{{8 - 2i}}{4} = 2 - \frac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \frac{{8 + 2i}}{4} = 2 + \frac{1}{2}i\).

Do \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương nên \({z_0} = 2 + \frac{1}{2}i\).

Ta có \(w = i{z_0} =  - \frac{1}{2} + 2i\).

Điểm biểu diễn \(w = i{z_0}\) là \({M_2}\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\).

Đặt \(x = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} \Rightarrow {z_1} = x.{z_2}\) và \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \left| x \right|\)

Từ giả thiết \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x.{z_2} + {z_2}}} = \frac{1}{{x.{z_2}}} + \frac{2}{{{z_2}}}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{1}{{{z_2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{z_2}}}\left( {\frac{1}{x} + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{x} + 2\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}i \Rightarrow \left| x \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

Ta có: M(a;b) và M'(a;-b) nên đối xứng với qua Ox.

Ta có \(z = \frac{1}{{2 - 3i}} = \frac{{2 + 3i}}{{{2^2} + {3^2}}} = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {\frac{2}{{13}};\frac{3}{{13}}} \right)\) trên mặt phẳng Oxy

Tọa độ A(3;-2) và B(-1;6).

Ta có M là trung điểm AB nên có M(1;2). Vậy điểm M biểu diễn số phức \(1+2i\).

Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi \(z = a + bi\,\,(a,b > 0)\).

Do \(\left| z \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lại có \(w = \frac{1}{{iz}} = \frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}i\) nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy.

\(\left| w \right| = \left| {\frac{1}{{iz}}} \right| = \frac{1}{{\left| i \right|.\left| z \right|}} = \sqrt 2  = 2\left| z \right| = 2OA\)

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P.

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức \(z=x+yi \left( {x;y \in R} \right)\) 

Ta có : \({\left( {1 + z} \right)^2} = {\left( {1 + x + yi} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} - {y^2} + 2\left( {x + 1} \right)yi\)

Để \({\left( {1 + z} \right)^2}\) là số thực thì \(2\left( {x + 1} \right)y = 0 \Rightarrow x =  - 1;y = 0\)

Gọi \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\). Khi đó \(|z - 2 + i| = 4 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {4^2}\).

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn có tâm I(2;-1) và bán kính R = 4.

Đặt \(z = x + yi,\left( {x,y \in R} \right)\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\left| {z - 1} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {x + yi} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + yi} \right| = \left| {\left( {x - y} \right) + \left( {x + y} \right)i} \right|\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \\
 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 1 = {x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} + 2xy + {y^2}\\
 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 1 = 0
\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;0) bán kính \(r = \sqrt 2 \) 

PP trắc nghiệm: Chọn 1 số z thỏa \(\left| {z + 2} \right| = 5,\) cụ thể ta chọn \(z =  - 2 + 5i\) thì tính được \(\omega  = 11 + 9i.\) Cho x = 11 và y = 9, lần lượt thay vào các phương trình ở các phương án A, B, C, D sẽ phát hiện được chỉ có phương trình ở phương án C được thỏa mãn.

PP tự luận:

Cách 1 Đặt \(\omega  = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)\) ta có \(\omega  = \left( {1 - 2i} \right)z + 3 \Leftrightarrow z = \frac{{\omega  - 3}}{{1 - 2i}} = \frac{{x - 3 + yi}}{{1 - 2i}}\)

\( \Leftrightarrow z + 2 = \frac{{x - 3 + yi}}{{1 - 2i}} + 2 = \frac{{x - 1 + (y - 4)i}}{{1 - 2i}}.\)

Như vậy,

\(\left| {z + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x - 1 + (y - 4)i} \right|}}{{\left| {1 - 2i} \right|}} = 5 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 4)}^2}} }}{{\sqrt 5 }} = 5 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125.\)

Cách 2

\(\omega  = \left( {1 - 2i} \right)z + 3 = \left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right) - 2\left( {1 - 2i} \right) + 3 = \left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right) + 1 + 4i\).

Suy ra \(\omega  - \left( {1 + 4i} \right) = \left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right) \Rightarrow \left| {\omega  - \left( {1 + 4i} \right)} \right| = \left| {\left( {1 - 2i} \right)\left( {z + 2} \right)} \right| = 5\sqrt 5 \).

Vậy tập hợp các số phức \(\omega \) là đường tròn tâm \((1;4), R = 5\sqrt 5 \).

Đặt \(OA = \left| {{z_1}} \right|,OB = \left| {{z_2}} \right|\) ( với O là gốc tọa độ, A, B là điểm biểu diễn của \(z_1, z_2\)).

Dựng hình bình hành OACB, khi đó ta có \(AB = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2,OC = \left| {{z_2} + {z_1}} \right| = 10,OM = 5\) 

Theo định lý đường trung tuyến ta có \(O{M^2} = \frac{{2\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right) - A{B^2}}}{4} \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = 52 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 52\) 

Ta có \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| \le \sqrt {2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)}  = 2\sqrt {26}  \Rightarrow {P_{\max }} = 2\sqrt {26} \)

Đặt \(z = a + bi,\left( {a,b \in R,{i^2} =  - 1} \right)\)

Theo đề ta có:

\(\left| {\left( {a + bi} \right) + 2 - 2i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 4i} \right|\Leftrightarrow \left| {\left( {a + 2} \right) + \left( {b - 2} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 4} \right)i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}}  \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\)

\({a^2} + 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4 = {a^2} + {b^2} - 8b + 16 \Leftrightarrow b = 2 - a\)

Khi đó, \(\left| {\rm{w}} \right| = \left| {i\left( {a + \left( {2 - a} \right)i} \right) + a} \right| = \sqrt {{{\left( {1 - \left( {2 - a} \right)} \right)}^2} + {a^2}}  = \sqrt {2{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{2}}  \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)