Phương pháp giải bài tập mạch xoay chiều RLC - có ω (hay f, T) thay đổi

Phương pháp giải bài tập xoay chiều RLC có tần số góc hay tần số, chu kì thay đổi MÔN LÝ Lớp 12 với nhiều phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(386) 1286 26/07/2022

1. \(\omega \) THAY ĐỔI ĐỂ XẢY RA HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG ĐIỆN: \({Z_{min}},{\rm{ }}{I_{max}},{\rm{ }}{U_{Rmax}},{\rm{ }}{P_{ABmax}},{\rm{ }}cos\varphi \) CỰC ĐẠI

\({Z_L} = {Z_C} \to {\omega ^2} = \frac{1}{{LC}}{\rm{ hay }}\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\)

Khi đó:

\({Z_{\min }} = R,{\rm{  }}{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R},{\rm{  }}{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\)

+ Điện áp giữa hai đầu điện trở cực đại và bằng điện áp toàn mạch

\({U_L} = {U_C} \to U = \sqrt {U_R^2 + {{({U_L} - {U_C})}^2}}  = {U_R}\)

+ Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch: \(\varphi  = 0\)

2. \(\omega \) THAY ĐỔI ĐỂ UCMAX

\({U_C} = I{Z_C} = \dfrac{{U{Z_C}}}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}} }} = \dfrac{U}{{\omega C\sqrt {{R^2} + {\omega ^2}{L^2} - 2\dfrac{L}{C} + \dfrac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}} }} = \dfrac{U}{{C\sqrt {{\omega ^4}{L^2} + ({R^2} - 2\dfrac{L}{C}){\omega ^2} + \dfrac{1}{{{C^2}}}} }}\)

UC max <=> mẫu min

Đặt \({\omega ^2} = x\) , \( \to {x^2}{L^2} + ({R^2} - 2\dfrac{L}{C})x + \dfrac{1}{{{C^2}}} = y\)

\({y_{\min }} \leftrightarrow x =  - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = \dfrac{1}{{LC}} - \dfrac{{{R^2}}}{{2{L^2}}},{y_{\min }} =  - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{{R^2}}}{{LC}} - \dfrac{{{R^4}}}{{2{L^2}}}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{Z_L} = \omega L = \sqrt {\dfrac{1}{{LC}} - \dfrac{{{R^2}}}{{2{L^2}}}} L \to Z_L^2 = \dfrac{L}{C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \leftrightarrow Z_L^2 = {Z_L}{Z_C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \to \dfrac{{{R^2}}}{2} = {Z_L}\left( {{Z_C} - {Z_L}} \right)\\ \to \dfrac{{{Z_L}}}{R}\dfrac{{\left( {{Z_C} - {Z_L}} \right)}}{R} = \dfrac{1}{2} \leftrightarrow \tan {\varphi _{RL}}\tan \varphi  = -\dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vẽ giản đồ ta được:

Từ giản đồ, ta có:

\(\begin{array}{l}{Z^2} = {R^2} + {\left( {{Z_C} - {Z_L}} \right)^2} = 2{Z_L}\left( {{Z_C} - {Z_L}} \right) + {\left( {{Z_C} - {Z_L}} \right)^2}\\ \leftrightarrow {Z^2} = Z_C^2 - Z_L^2\end{array}\)

Kết luận: \(\omega \) biên thiên để \({U_{{C_{max}}}}\), khi đó:

\({U_{Cm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{2UL}}{{R\sqrt {4LC - {R^2}{C^2}} }},{\rm{  }}{\omega ^2}{\rm{ = }}\dfrac{1}{{LC}} - \dfrac{{{R^2}}}{{2{L^2}}}\)

\(\tan {\varphi _{RL}}\tan \varphi  = -\dfrac{1}{2}\) và \(Z_C^2 = {Z^2} + Z_L^2\)

3. \(\omega \) THAY ĐỔI ĐỂ ULMAX

\({U_L} = I{Z_L} = \dfrac{{U{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}} }} = \dfrac{{U\omega L}}{{\sqrt {{R^2} + {\omega ^2}{L^2} - 2\dfrac{L}{C} + \dfrac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}} }} = \dfrac{{UL}}{{\sqrt {{L^2} + \dfrac{{({R^2} - 2\dfrac{L}{C})}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{1}{{{\omega ^4}{C^2}}}} }}\)

\({U_{L{\rm{ }}max}}\) <=> mẫu min

Đặt \(\dfrac{1}{{{\omega ^2}}} = x\), \( \to {L^2} + ({R^2} - 2\dfrac{L}{C})x + {x^2}\dfrac{1}{{{C^2}}} = y\)

\({y_{\min }} \leftrightarrow x =  - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = \dfrac{{2LC - {R^2}{C^2}}}{2},{y_{\min }} =  - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{4L{{\rm{R}}^2} - {R^4}C}}{4}C\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} \to Z_C^2 = \dfrac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{2}{{2LC - {R^2}{C^2}}}{C^2}}} = \dfrac{L}{C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \leftrightarrow Z_C^2 = {Z_L}{Z_C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{2} = {Z_C}\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right) \leftrightarrow \dfrac{{{Z_C}}}{R}\dfrac{{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}}{R} = \dfrac{1}{2}\\ \leftrightarrow \tan {\varphi _{RC}}\tan \varphi  = -\dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vẽ giản đồ ta được:

Từ giản đồ, ta có:

\(\begin{array}{l}{Z^2} = {R^2} + {\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)^2} = 2{Z_C}\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right) + {\left( {{Z_C} - {Z_L}} \right)^2}\\ \leftrightarrow {Z^2} = Z_L^2 - Z_C^2\end{array}\)

Kết luận: \({U_{Lm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{2UL}}{{R\sqrt {4LC - {R^2}{C^2}} }},{\rm{  }}{\omega ^2}{\rm{ = }}\dfrac{2}{{2LC - {R^2}{C^2}}}\)

\(\tan {\varphi _{RC}}\tan \varphi  =- \dfrac{1}{2}\) và \(Z_L^2 = {Z^2} + Z_C^2\)

Khi \(\omega \)  thay đổi để \({U_{Cmax}},{\rm{ }}{U_{Lmax}}\)

\(\begin{array}{l}{U_{Cm{\rm{ax}}}} = {U_{Lm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{2UL}}{{R\sqrt {4LC - {R^2}{C^2}} }}\\{\omega _L}.{\omega _C} = \dfrac{1}{{LC}} = \omega _0^2\end{array}\)

4. THAY ĐỔI \(f\) CÓ HAI GIÁ TRỊ \({f_{\bf{1}}} \ne {f_{\bf{2}}}\) BIẾT \({f_{\bf{1}}} + {f_{\bf{2}}} = {\rm{ }}{\bf{a}}\) VÀ CÙNG CÔNG SUẤT HOẶC CÙNG \({\bf{I}},{\bf{Z}},{\bf{cos}}\varphi ,{{\bf{U}}_{{\bf{R}}.}}\)

- Hai giá trị tần số làm cho mạch có cùng công suất nên:

\(\begin{array}{l}{P_1} = {P_2} \Leftrightarrow I_1^2R = I_2^2R \Leftrightarrow I_1^2 = I_2^2\\ \to \dfrac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{({Z_{L1}} - {Z_{C1}})}^2}}} = \dfrac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{({Z_{L2}} - {Z_{C2}})}^2}}}\\ \to {({Z_{L1}} - {Z_{C1}})^2} = {({Z_{L2}} - {Z_{C2}})^2} \to \left[ \begin{array}{l}{Z_{L1}} - {Z_{C1}} = {Z_{L2}} - {Z_{C2}}(loai)\\{Z_{L1}} - {Z_{C1}} =  - ({Z_{L2}} - {Z_{C2}})\end{array} \right.\\ \to {Z_{L1}} + {Z_{L2}} = {Z_{C1}} + {Z_{C2}}) \to L({\omega _1} + {\omega _2}) = \dfrac{1}{C}(\dfrac{1}{{{\omega _1}}} + \dfrac{1}{{{\omega _2}}}) = \dfrac{1}{C}\dfrac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{{{\omega _1}{\omega _2}}}\\ \to {\omega _1}{\omega _2} = \dfrac{1}{{LC}} = \omega _0^2\end{array}\)

- Công thức trên áp dụng cho bài toán thay đổi f có cùng I, Z, cosφ, UR

Các hệ quả thu được:

  • Cảm kháng và dung kháng trong hai trường hợp:

\({({Z_{L1}} - {Z_{C1}})^2} = {({Z_{L2}} - {Z_{C2}})^2}{\rm{   hay  }}\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right| = h/s \to \left| \begin{array}{l}{Z_{L1}} = {Z_{C2}}\\{Z_{L2}} = {Z_{C1}}\end{array} \right.\)

  • Hệ số công suất trong hai trường hợp: \({\rm{cos}}{\varphi _1} = {\rm{cos}}{\varphi _2} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + k{{(\sqrt {\dfrac{{{\omega _1}}}{{{\omega _2}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\omega _2}}}{{{\omega _1}}}} )}^2}} }}{\rm{   (}}\dfrac{L}{C} = k.{R^2})\)
  • Cường độ dòng điện trong hai trường hợp: \({I_1} = {I_2} = \dfrac{{{I_{{\rm{max}}}}}}{n}\)

Điện trở của mạch được xác định: \(R = L\dfrac{{\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|}}{{\sqrt {{n^2} - 1} }} = \dfrac{{\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|}}{{{\omega _1}{\omega _2}C\sqrt {{n^2} - 1} }}\)

(386) 1286 26/07/2022