Phương pháp giảii bài tập Sự nhanh chậm của đồng hồ quả lắc

I - PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

Gọi T₁ là chu kì chạy đúng, T₂ là chu kì chạy sai

Trong thời gian T₁(s) đồng hồ chạy sai |T₂-T₁| (s)

=> 1(s) đồng hồ chạy sai \(\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}}s\)

Vậy trong khoảng thời gian ∆t, đồng hồ chạy sai: \(\theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}}s\)

1. Dạng 1: Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi thay đổi nhiệt độ.

- Khi thay đổi nhiệt độ, chiều dài của con lắc thay đổi theo biểu thức: \(l = {l_0}(1 + \alpha t)\)

• l₀: chiều dài dây treo (kim loại) ở 0⁰C
• l: chiều dài dây treo (kim loại) ở t⁰C
• α: hệ số nở dài của dây treo kim loại

Ở nhiệt độ t₁ đồng hồ chạy đúng, nhiệt độ t₂ đồng hồ chạy sai:

- Xét tỉ số: \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\)

Ta có: \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}}}  = \sqrt {\frac{{{l_0}(1 + \alpha ({t_2})}}{{{l_0}(1 + \alpha {t_1})}}}  = \sqrt {\frac{{(1 + \alpha {t_2})}}{{(1 + \alpha {t_1})}}}  = {(1 + \alpha {t_2})^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha {t_1})^{ - \frac{1}{2}}}\)

Sử dụng công thức gần đúng: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 \pm x} \right)^n} \approx 1 \pm nx\\\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \approx 1 + {x_1} - {x_2}\end{array} \right.\) với x, x₁, x₂ << 1

Vì αt₁  và αt₂<< 1\( \to {(1 + \alpha {t_2})^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha {t_1})^{ - \frac{1}{2}}} \approx \left( {1 + \frac{1}{2}\lambda {t_2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{2}\lambda {t_1}} \right) \approx 1 + \frac{1}{2}\alpha {t_2} - \frac{1}{2}\alpha {t_1} \approx 1 + \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t.\frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)(s)\)

• Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa lên độ cao h:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{g}{{{g_h}}}} \\{g_h} = g\frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\end{array} \right. \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \frac{{\left( {R + h} \right)}}{R} = 1 + \frac{h}{R}\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t\frac{h}{R}(s)\)

Ta thấy \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \frac{h}{R} > 1 \to {T_2} > {T_1}\)=> Đồng hồ chạy chậm lại

• Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa đồng hồ xuống độ sâu h thì đồng hồ chạy sai.

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{g}{{{g_d}}}} \\{g_d} = g\frac{{\left( {R - d} \right)}}{R}\end{array} \right. \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{R}{{\left( {R - d} \right)}}}  = \sqrt {\frac{1}{{1 - \frac{d}{R}}}}  = {\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{d}{R}\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t\frac{1}{2}\frac{d}{R}(s)\)

3. Dạng 3: Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi thay đổi vị trí trên trái đất (nhiệt độ không đổi)

Tại nơi có gia tốc trọng trường g₁ đồng hồ chạy đúng với: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{{g_1}}}} \)

Tại nơi có gia tốc trọng trường g₂ đồng hồ chạy sai: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{{g_2}}}} \)

\( \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} \approx 1 - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}} \to \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} =  - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}}\)