Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\) và \(AB=a\), \(AD=a\sqrt{3}\); \(A'O\) vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right)\). Cạnh bên \(AA'\) hợp với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \({{45}^{0}}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.

Tìm tập xác định \(\text{D}\) của hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+\ln \left( x-1 \right)\).

Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng \(a\). Thể tích khối trụ bằng:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\).

Hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3\) nghịch biến trên các khoảng nào ?

Cho hai số thực b và c \(\left( c>0 \right)\). Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\). Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau?

Tính giá trị của biểu thức \(P={{\log }_{a}}\left( a.\sqrt[3]{a\sqrt{a}} \right)\) với \(0<a\ne 1.\)

Tìm nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right)={{x}^{3}}\ln \left( \frac{4-{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}} \right)\) ?

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7 (làm tròn đến chữ số phần nghìn) có dạng \(\overline{0,\,abc}\). Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\).

Cho x, y>0 thỏa mãn \(\log \left( x+2y \right)=\log \left( x \right)+\log \left( y \right)\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{{{x}^{2}}}{1+2y}+\frac{4{{y}^{2}}}{1+x}\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z-1=0.\) Gọi B là điểm đối xứng với A qua \(\left( P \right)\). Độ dài đoạn thẳng AB là

Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) có đồ thị (C). Chọn mệnh đề sai? 

Cho cấp số nhân \(\left( {{x}_{n}} \right)\) có \(\left\{ \begin{matrix} {{x}_{2}}-{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=10 \\ {{x}_{3}}-{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=20 \\ \end{matrix} \right..\) Tìm \({{x}_{1}}\) và công bội q.