Số cách chọn 4 phần tử từ 12 phần tử bằng: \(C_{12}^{4}.\)

\({u_4} = {u_1} + 3d \Leftrightarrow 4 =  - 2 + 3d \Leftrightarrow d = 2.\)

\({u_6} = {u_1} + 5d =  - 2 + 5\left( 2 \right) = 8.\)

Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right).\)

Vì phương trình \(f'\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm và khi qua 3 nghiệm \(f'\left( x \right)\) đều đổi dấu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

Theo định nghĩa về cực trị, nhìn trên bảng biến thiên ta thấy chỉ có x=-1 và x=1 là thỏa mãn đồng thời của hai điều kiện. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Dễ thấy đồ thị hàm số \(y=\frac{1-2x}{-x+2}\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là x=2;y=2.

Từ hình vẽ ta thấy hệ số a>0 nên loại A và B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( 2;-3 \right)\) chỉ có đáp án D thỏa.

Từ phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{3}}+3x-4=2x-4\Rightarrow x=0.\)

Thay x=0 vào phương trình đường thẳng y=2x-4, ta được y=-4.

Vậy \(M\left( 0;-4 \right).\)

Từ \({{8}^{x}},{{4}^{4}},2\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên công bội \(q=\frac{2}{{{4}^{4}}}=\frac{1}{{{2}^{7}}}\)

Mặt khác \({{\log }_{2}}45,{{\log }_{2}}y,{{\log }_{2}}x\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra

\({{\log }_{2}}y=\left( {{\log }_{2}}45+{{\log }_{2}}x \right):2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}y=\left( {{\log }_{2}}45+{{\log }_{2}}5 \right):2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}y={{\log }_{2}}\sqrt{225}\Leftrightarrow y=15.\)

Ta có \(y={{e}^{2x}}+3\) nên \(y'={{e}^{2x}}.\left( 2x \right)'=2.{{e}^{2x}}.\)

\({a^\alpha } = \frac{{\sqrt[3]{{{a^2}\sqrt a }}}}{{{a^3}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{6}}}}}{{{a^3}}} = {a^{ - \frac{{13}}{6}}} \Rightarrow \alpha  =  - \frac{{13}}{6} \in \left( { - 3; - 2} \right).\)

\({\log _2}\left( {3x - 8} \right) = 2 \Leftrightarrow 3x - 8 = 4 \Leftrightarrow x = 4.\)

\({3^{x - 1}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x - 1}} = {3^3} \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\)

\(\int\limits_{}^{} {\sin 2x} dx =  - \frac{{\cos 2x}}{2} + C.\)

Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx.\)

\(A=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1}{t}dt}\)

\(I = \int\limits_0^\pi  {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_a^\pi  {f\left( x \right)dx}  = 2.\)

\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\sin xdx} = - \cos x\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{3}\\ 0 \end{array} \right. = \frac{1}{2}.\)

Số phức liên hợp của số phức \(2-3i\) là \(2+3i\)

Số phức có phần ảo bằng 0 là số thực. Do đó \(\left( 3+2i \right)+\left( 3-2i \right)=6\) là số thực.

\(M\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow z =  - 2 + i.\)

\(V = \frac{1}{3}Bh.\)

Theo công thức tính thể tích khối chóp ta có \(V=\frac{1}{3}Bh.\)

Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.\)

Theo bài ra h=r=a.

Thể tích khối nón là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{a}^{3}}.\)

Ta có: \(2\overrightarrow{a}=\left( 2;4;6 \right);-3\overrightarrow{b}=\left( 6;-12;-3 \right);5\overrightarrow{c}=\left( -5;15;20 \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\left( 3;7;23 \right).\)

Tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right);R = \sqrt {1 + 4 + 9 - 9}  = \sqrt 5 .\)

Phương trình mặt phẳng Ox qua \(O\left( 0;0;0 \right)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=\left( 0;1;0 \right)\) nên có phương trình y=0.

Theo định nghĩa về phương trình chính tắc ta có \(\overrightarrow{u}=\left( 2;3;1 \right)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{x-3}{1}.\)

Không gian mẫu \(\Omega =\left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}\Rightarrow n\left( \Omega  \right)=6.\)

Gọi A là biến cố “con xúc sắc xuất hiện mặt chẵn” \(\Rightarrow n\left( A \right)=3.\)

Xác suất tìm được là: \(P\left( A \right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.\)

Ta thấy đường cong là đồ thị của hàm trùng phương có dạng \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) với a>0.

Ta có \(y'=\frac{3}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne 1,\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ 2;3 \right].\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ 2;3 \right]\) là \(f\left( 2 \right)=-5.\)

\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 - x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 - x}} \Leftrightarrow  - 4x \le 2 - x \Leftrightarrow x \ge  - \frac{2}{3}.\)

\(\int\limits_0^2 {\frac{a}{{ax + 3a}}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{1}{{x + 3}}dx} = \ln \left( {x + 3} \right)\left| \begin{array}{l} 2\\ 0 \end{array} \right. = \ln 5 - \ln 3 = \ln \frac{5}{3}.\)

Ta có \(\text{w}=-3+7i\) nên \(\left| \text{w} \right|=\sqrt{58}.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} SA \bot \left( {ABCD} \right)\\ AC = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \alpha = \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA}\)

Vì \(\Delta SAC\) vuông cân tại A nên \(\alpha ={{45}^{0}}.\)

Gọi E là trung điểm AB, suy ra \(CE\bot AB\)

Kẻ \(HI//CE,I\in AB.\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & HI\bot AB \\ & AB\bot SH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( SHI \right),\) kẻ \(HK\bot SI\) tại K, suy ra \(HK\bot \left( SAB \right)\)

Ta có \(HI=\frac{2}{3}CE=a\sqrt{3}.\)

Ta có \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{S}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.\)

Ta có \(d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( H;\left( SAB \right) \right)=\frac{3}{2}HK=\frac{3a\sqrt{21}}{7}.\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;2;2 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( 3;4;3 \right)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{IA}=\left( 2;2;1 \right).\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(2\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)+z-3=0\) hay 2x+2y+z-17=0.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;3;-2 \right)\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Từ đó ta có phương trình đường thẳng \(AB:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{-2}.\)

Trên \(\left[ -4;3 \right]\), ta có: \(g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)-2\left( 1-x \right).\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 4\\ x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên.

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \({{x}_{0}}=-1.\)

\({\log _4}\left( {{x^2} - x - m} \right) \ge {\log _2}\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _4}\left( {{x^2} - x - m} \right) \ge {\log _2}\left( {x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 > 0\\ {x^2} - x - m \ge {\left( {x + 2} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ m \le - 5x - 4 \end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)=-5x-4\) với x>-2 sau đây

Dựa vào bảng biến thiên ta có m<6.

\(a+{{x}^{2}}\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow a>0\) hoặc a<-1.

\(\int\limits_0^1 {\frac{x}{{a + {x^2}}}dx} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {a + {x^2}} \right|\left| \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right. = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{a + 1}}{a}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \frac{1}{{{e^2} - 1}}\\ a = - \frac{1}{{{e^2} + 1}}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)

Ta có

\(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)=\left( a+bi \right)\left( 4-3i \right)=4a+3b+\left( -3a+4b \right)i.\text{  }\left( 1 \right)\)

Do \(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)\) là một số thực nên từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(-3a+4b=0\Leftrightarrow b=\frac{3}{4}a.\text{        }\left( 2 \right)\)

Mặt khác \(\left| z \right|=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25.\text{        }\left( 3 \right)\)

Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được phương trình

\({{a}^{2}}+{{\left( \frac{3}{4}a \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}=16\Leftrightarrow a=\pm 4.\)

Với \(a=4\Rightarrow b=3\) và \(a=-4\Rightarrow b=-3.\)

Vậy \(P=\left| a \right|+\left| b \right|=3+4=7.\)

Gọi K là trung điểm của đoạn AB.

Ta có \(\Delta SAB\) đều \(\Rightarrow SK\bot AB.\)

Mà \(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến AB

\(\Rightarrow SK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}\)

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB=a,BC=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\)

\({{S}_{\Delta ABC}}\) đều cạnh \(AB=a\Rightarrow\) đường cao \(SK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.\)

Gọi \({{l}_{1}},{{l}_{2}},...,{{l}_{250}}\) là chiều dài phần trải ra vòng thứ nhất, thứ hai,…, thứ 250 của khối trụ.

Vì khi trải ra 250 vòng, bán kính khối trụ giảm đi 2,5 cm nên bề dày tấm đề can là \(\frac{2,5}{250}=0,01cm.\)

Khi đó \({{l}_{1}},{{l}_{2}},...,{{l}_{250}}\) lần lượt là chu vi các đường tròn có các bán kính \({{r}_{1}},{{r}_{2}},...,{{r}_{250,}}\) với \({{r}_{1}},{{r}_{2}},...,{{r}_{250}}\) lập thành một cấp số cộng có công sai d=-0,01 và số hạng đầu bằng 25.

Nên \({{r}_{1}}+{{r}_{2}}+...+{{r}_{250}}=25.250+\frac{250.249}{2}.\left( -0,01 \right)=5938,75.\)

Vậy chiều dài phần trải ra là \({{l}_{1}}+{{l}_{2}}+...+{{l}_{250}}=2\pi .5938,75\approx 37314cm\approx 373m.\)

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó

\(AB=2\sqrt{I{{B}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;d \right)}\)

d đi qua điểm \(M\left( 3;2;0 \right)\) và \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;3;6 \right).\)

Vậy \(d\left( I;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}\)

Ta có \(\overrightarrow{IM}=\left( 2;1;0 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 6;-12;4 \right).\)

Vậy \(\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|=14.\)

Mà \(\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}=7\Rightarrow d\left( I,d \right)=2.\)

Vậy \(AB=2\sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}\)

\(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2} - 3} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f'\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} - 3 = - 2\\ {x^2} - 3 = 1\left( {nghiem{\rm{ }}kep} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1\\ x = \pm 2\left( {nghiem{\rm{ }}kep} \right) \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Hệ phương trình đã cho tương đương

\(\left\{ \begin{array}{l} {2^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.4^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.16^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128\\ {\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)^2} - {\left( {x{y^2} - {z^4}} \right)^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}} = 7\\ x{y^2}{z^4} = 1 \end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có

\(7=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}\)

\(=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}\)

\(\ge 7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}.{{\left( \sqrt[3]{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}.{{\left( \sqrt[3]{{{z}^{2}}} \right)}^{4}}}\)

\(=7\sqrt[21]{{{\left( x{{y}^{2}}{{z}^{4}} \right)}^{2}}}\)

=7

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = {y^2} = {z^2}\\ x{y^2}{z^4} = 1 \end{array} \right..\)

Dễ thấy x>0 và từ phương trình thứ hai ta có \({{x}^{7}}=1\) hay x=1. Suy ra \(y=\pm 1,z=\pm 1.\)

Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là \(\left( 1;1;1 \right),\left( 1;1;-1 \right),\left( 1;-1;-1 \right),\left( 1;-1;1 \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \({{x}^{2}}-4=-{{x}^{2}}-2x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0.\) Phương trình này có hai nghiệm là 1 và -2.

Do đó, diện tích cần tính là

\(S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{2}}-4-\left( -{{x}^{2}}-2x \right) \right|dx}=\left| \int\limits_{-2}^{1}{\left( 2{{x}^{2}}+2x-4 \right)dx} \right|=\left| \left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x \right)\left| \begin{align} & 1 \\ & -2 \\ \end{align} \right. \right|=9.\)

Ta có \({{x}^{2}}+{{\left( y-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\text{  }\left( C \right).\) Gọi K,A,B lần lượt là các điểm biểu diễn của \(z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}\). Khi đó T=OK+KA+KB.

Ta có A,B,O thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) và tam giác ABO đều. Suy ra m=2OA=2. Đẳng thức xảy ra khi K trùng với O,A,B.

Gọi K thuộc cung AB, ta có \(KA.KB=OA.BK+AB.OK\Leftrightarrow KA=KB+OK\) suy ra \(T2=\le KA\le \frac{4\sqrt{3}}{3}.\)

Vậy \(\left| \text{w} \right|=\sqrt{\frac{16.3}{9}+4}=\frac{2\sqrt{21}}{3}.\)

Gọi M là trung điểm B'C' và N là hình chiếu của H trên B'C'. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l} B'C' \bot HN\\ B'C' \bot AH \end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow B'C' \bot AN.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\ B'C' \bot HN\\ B'C' \bot AN \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left( \left( A'B'C' \right),\left( AB'C' \right) \right)=\widehat{ANH}={{60}^{0}}\)

Ta có \(B'C'=\sqrt{A'B{{'}^{2}}+A'C{{'}^{2}}}=a\sqrt{3}\)

\(\frac{1}{H{{N}^{2}}}=\frac{1}{H{{B}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HN=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ và \(AH=HN.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O các điểm B',M,A lần lượt thuộc các tia Ox,Oy,Oz.

Ta có \(H\left( 0;0;0 \right),B'\left( \frac{a}{2};0;0 \right),A\left( 0;0;\frac{a\sqrt{2}}{2} \right),C'\left( -\frac{a}{2};a\sqrt{2};0 \right).\)

Gọi \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2Ax-2By-2Cz+D=0\) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB'C'. Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l} D = 0\\ 2A\frac{a}{2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\\ 2C.a\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ 2A.\left( { - \frac{a}{2}} \right) + 2B.a\sqrt 2 = {\left( { - \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = \frac{a}{4}\\ B = \frac{5}{{4\sqrt 2 }}\\ C = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\\ D = 0 \end{array} \right.\)

\(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D}  = \frac{{a\sqrt {62} }}{8}.\)