Ta có: \({3^{{x^2} - 13}} < 27 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 13}} < {3^3} \Leftrightarrow {x^2} - 13 < 3 \Leftrightarrow {x^2} < 16 \Leftrightarrow \left| x \right| < 4 \Leftrightarrow  - 4 < x < 4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 4\,;\,4} \right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

\({x^3} + 3{x^2} = 3{x^2} + 3x \Leftrightarrow {x^3} - 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \sqrt 3 \\
x =  - \sqrt 3 
\end{array} \right.\)

Hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm.

Ta có \({4^{{{\log }_2}\left( {{a^2}b} \right)}} = 3{a^3} \Leftrightarrow {\left( {{2^{{{\log }_2}\left( {{a^2}b} \right)}}} \right)^2} = 3{a^3} \Leftrightarrow {\left( {{a^2}b} \right)^2} = 3{a^3} \Leftrightarrow {a^4}{b^2} = 3{a^3} \Leftrightarrow a{b^2} = 3.\)

Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng đáy. Từ đó suy ra: \(\left( {\widehat {SC\,;\,\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC\,;\,AC}} \right) = \widehat {SCA}\).

Trong tam giác ABC vuông tại B có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = \sqrt 5 a\).

Trong tam giác SAC vuông tại A có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {15} a}}{{\sqrt 5 a}} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \) .

Vậy \(\left( {\widehat {SC\,;\,\left( {ABC} \right)}} \right) = 60^\circ \)

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\sqrt 2  \in \left[ {2;19} \right]\\
x =  - 2\sqrt 2  \notin \left[ {2;19} \right]
\end{array} \right..\)

\(f\left( 2 \right) = {2^3} - 24.2 =  - 40\)

\(f\left( {2\sqrt 2 } \right) = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^3} - 24.2\sqrt 2  =  - 32\sqrt 2 \)

\(f\left( {19} \right) = {19^3} - 24.19 = 6403\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 24x\) trên đoạn \(\left[ {2;19} \right]\) bằng \( - 32\sqrt 2 \)

Ta có: \(\left| {z.\overline {\rm{w}} } \right| = \left| z \right|.\left| {\overline {\rm{w}} } \right| = \left| z \right|.\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {1 + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + 1}  = 5\sqrt 2 .\)

Gọi S là đỉnh của hình nón và AB là một đường kính của đáy.

Theo bài ra, ta có tam giác SAB là tam giác đều → \(l = SA = AB = 2r = 4\)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là \({S_{xq}} = \pi rl = 8\pi \)

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

Ta có: \({\vec n_P} = {\vec u_d} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - z + 1 = 0\).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

\({x^2} - 4 = 2x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là:

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {2x - 4} \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}
2\\
0
\end{array} \right. = \frac{4}{3}\)

Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2\,;\,3\,;\, - 1} \right)\) làm một véc tơ chỉ phương.

Phương trình của đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Tập xác định: \(D = \backslash \left\{ { - m} \right\}\). 

Ta có: \(y' = \frac{{m - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\, - 7} \right) \Leftrightarrow y' > 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,;\, - 7} \right)\),  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 4 > 0\\
 - m \notin \left( { - \infty \,;\, - 7} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 4\\
 - m \ge  - 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 4\\
m \le 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m \le 7\)

Ta có tâm của đáy cũng là giao điểm ba đường cao (ba đường trung tuyến) của tam giác đều ABC nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là \(r = 4a.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\sqrt 3 a}}{3}\)

Đường cao AH của tam giác đều ABC là \(AH = \frac{{4a.\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 a\).

Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60^oC suy ra \(\widehat {SHA} = 60^\circ \).

Suy ra \(\tan SHA = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{SA}}{{2\sqrt 3 a}} = \sqrt 3  \Rightarrow SA = 6a\).

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp \({R_{mc}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2} + {r^2}}  = \sqrt {9{a^2} + \frac{{16}}{3}{a^2}}  = \frac{{\sqrt {129} }}{3}a\).

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC là \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{\sqrt {129} }}{3}a} \right)^2} = \frac{{172\pi {a^2}}}{3}\).

Diện tích rừng trồng mới của năm 2019 + 1 là \(600{\left( {1 + 6\% } \right)^1}\).

Diện tích rừng trồng mới của năm 2019+2 là \(600{\left( {1 + 6\% } \right)^2}\).

Diện tích rừng trồng mới của năm 2019+n là \(600{\left( {1 + 6\% } \right)^n}\).

Ta có \(600{\left( {1 + 6\% } \right)^n} > 1000 \Leftrightarrow {\left( {1 + 6\% } \right)^n} > \frac{5}{3} \Leftrightarrow n > {\log _{\left( {1 + 6\% } \right)}}\frac{5}{3} \approx 8,76\)

Như vậy kể từ năm 2019 thì năm 2028 là năm đầu tiên diện tích rừng trồng mới đạt trên 1000 ha.

Tính \(g\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)} f'\left( x \right){\rm{d}}x = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - \int {{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }} f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

\( = \frac{{{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}{\rm{d}}x}  = \frac{{{x^2} + x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - \sqrt {{x^2} + 2}  + C = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} + C.\)

Gọi \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta SAB,\Delta SBC,\Delta SCD,\Delta SDA\).

E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA

Ta có \({S_{MNPQ}} = 4{S_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = 4.\frac{4}{9}{S_{EFGH}} = 4.\frac{4}{9}.\frac{1}{2}EG.HF = \frac{{8{a^2}}}{9}\).

\(\begin{array}{l}
d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = d\left( {S',\left( {ABCD} \right)} \right) + d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + 2d\left( {O,\left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) + \frac{2}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{3}d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{5a\sqrt {14} }}{6}
\end{array}\)

Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{5a\sqrt {14} }}{6} \cdot \frac{{8{a^2}}}{9} = \frac{{20{a^3}\sqrt {14} }}{{81}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty  \to a < 0\)

Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra x1, x2 nghiệm phương trình \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) nên theo định lý Viet: 

+) Tổng hai nghiệm \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{2b}}{{3a}} > 0 \to \frac{b}{a} < 0 \to b > 0\)

+) Tích hai nghiệm \({x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0 \to c < 0\)

Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d>0.

Vậy có 2 số dương trong các số a, b, c, d.

\(C'M \cap \left( {A'BC} \right) = C\), suy ra \(\frac{{d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{C'M}}{{C'C}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \({V_{C'.A'BC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.C'C.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Lại có \(A'B = a\sqrt 2 ,CB = a,A'C = a\sqrt 2  \Rightarrow {S_{A'BC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\)

Suy ra \(d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{C'.A'BC}}}}{{{S_{\Delta A'BC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

Vậy \(d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).

Nhận xét: Giá trị của x, y thỏa mãn phương trình \(2x + y \cdot {4^{x + y - 1}} = 3\left( 1 \right)\) sẽ làm cho biểu thức P nhỏ nhất. Đặt a = x + y, từ (1) ta được phương trình

\({4^{a - 1}} + \frac{2}{y}.a - 2 - \frac{3}{y} = 0\).

Nhận thấy \(y = {4^{a - 1}} + \frac{2}{y}.a - 2 - \frac{3}{y}\) là hàm số đồng biến theo biến a, nên phương trình trên có nghiệm duy nhất \(a = \frac{3}{2} \Rightarrow x + y = \frac{3}{2}\).

Ta viết lại biểu thức \(P = {\left( {x + y} \right)^2} + 4\left( {x + y} \right) + 2\left( {y - \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{8} = \frac{{65}}{8}\).

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{65}}{8}\).

Có \({\rm{A}}_9^4\) cách tạo ra số có 4 chữ số phân biệt từ \(X = \left\{ {1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9} \right\}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left| S \right| = {\rm{A}}_9^4 = 3024\\
 \Rightarrow \left| \Omega  \right| = 3024
\end{array}\)

Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.

Nhận thấy không thể có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn vì lúc đó luôn tồn tại hai chữ số chẵn nằm cạnh nhau.

Trường hợp 1: Cả 4 chữ số đều lẻ.

Chọn 4 số lẻ từ Xvà xếp thứ tự có \({\rm{A}}_5^4\) số.

Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn.

Chọn 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn từ X và xếp thứ tự có \({\rm{C}}_5^3.{\rm{C}}_4^1.4!\) số.

Trường hợp 3: Có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ.

Chọn 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn từ X có \({\rm{C}}_5^2.{\rm{C}}_4^2\) cách.

Xếp thứ tự 2 chữ số lẻ có 2! cách.

Hai chữ số lẻ tạo thành 3 khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào 3 khoảng trống và sắp thứ tự có 3! cách.

→ trường hợp này có \({\rm{C}}_5^2.{\rm{C}}_4^2.2!.3!\) số.

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{{\rm{A}}_5^4 + {\rm{C}}_5^3.{\rm{C}}_4^1.4! + {\rm{C}}_5^2.{\rm{C}}_4^2.2!.3!}}{{3024}} = \frac{{25}}{{42}}\).

Ta chọn hàm \(f\left( x \right) = 5{x^4} - 10{x^2} + 3\)

Đạo hàm

\(g'\left( x \right) = 4{x^3}{\left[ {f\left( {x + 1} \right)} \right]^2} + 2{x^4}f\left( {x + 1} \right)f'\left( {x + 1} \right) = 2{x^3}f\left( {x + 1} \right)\left[ {2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right)} \right]\)

Ta có:

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{x^3}f\left( {x + 1} \right) = 0\\
2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
f\left( {x + 1} \right) = 0\\
2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0
\end{array} \right.\)

\(f\left( {x + 1} \right) = 0(*) \to 5{\left( {x + 1} \right)^4} - 10\left( {x + 1} \right) + 3 = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
x + 1 \approx 1,278\\
x + 1 \approx 0,606\\
x + 1 \approx  - 0,606\\
x + 1 \approx  - 1,278
\end{array} \right.\)

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0.

\(\begin{array}{l}
2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{t = x + 1} 2\left( {5{t^4} - 10{t^2} + 3} \right) + \left( {t - 1} \right)\left( {20{t^3} - 20t} \right) = 0\\
 \to 30{t^4} - 20{t^3} - 40{t^2} + 20t + 6 = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
t \approx 1,199\\
t \approx 0,731\\
t \approx  - 0,218\\
t \approx  - 1,045
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (*)

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9.

Với mọi \(x \in \) ta có \({x^2} \ge x\).

Xét hàm số \(f(y) = {\log _3}(x + y) - {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\).

Tập xác định \({\rm{D}} = ( - x; + \infty )\) (do \(y >  - x \Rightarrow y >  - {x^2}\)).

\(f'(y) = \frac{1}{{(x + y)\ln 3}} - \frac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 4}} \ge 0,\,\,\forall x \in D\) (do \({x^2} + y \ge x + y > 0\),\(\ln 4 > \ln 3\))

→ f tăng trên D.

Ta có \(f( - x + 1) = {\log _3}(x - x + 1) - {\log _4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) \le 0\).

Có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn \(f\left( y \right) \le 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow f( - x + 729) > 0 \Leftrightarrow {\log _3}729 - {\log _4}\left( {{x^2} - x + 729} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - x + 729 - {4^6} < 0\\
 \Leftrightarrow  - 57,5 \le x \le 58,5
\end{array}\)

Mà \(x \in \) nên \(x \in \left\{ { - 57,\, - 56,\,...,\,58} \right\}\).

Vậy có 58 - ( - 57) + 1 = 116 số nguyên x thỏa.

\(f\left( {{x^3}f(x)} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3}f(x)} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^3}f(x) = 0\\
{x^3}f(x) = a > 0\\
{x^3}f(x) = b > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
f(x) = 0\\
f(x) = \frac{a}{{{x^3}}}\,({\rm{do}}\,\,x \ne 0)\\
f(x) = \frac{b}{{{x^3}}}({\rm{do}}\,x \ne 0)
\end{array} \right.\)

 f(x) = 0 có một nghiệm dương x = c.

Xét phương trình \(f(x) = \frac{k}{{{x^3}}}\) với \(x \ne 0,\,\,k > 0\).

Đặt \(g(x) = f(x) - \frac{k}{{{x^3}}}\)

\(g'(x) = f'(x) + \frac{{3k}}{{{x^4}}}\)

Với x > c, nhìn hình ta ta thấy f'(x) > 0 \( \Rightarrow g'(x) = f'(x) + \frac{{3k}}{{{x^4}}} > 0\)

\( \Rightarrow g(x) = 0\) có tối đa một nghiệm.

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}
g(c) < 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) =  + \infty 
\end{array} \right.\) và g(x) liên tục trên \(\left( {c; + \infty } \right)\)

→ \(g(x) = 0\) có duy nhất nghiệm trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Với 0 < x < c thì \(f(x) < 0 < \frac{k}{{{x^3}}}\) → g(x) = 0 vô nghiệm.

Với x < 0 , nhìn hình ta ta thấy \(f'(x) > 0 \Rightarrow g'(x) = f'(x) + \frac{{3k}}{{{x^4}}} > 0\)

→ g(x) = 0 có tối đa một nghiệm.

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g(x) > 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g(x) =  - \infty 
\end{array} \right.\) và g(x) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

g(x) = 0 có duy nhất nghiệm trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Tóm lại g(x) = 0 có đúng hai nghiệm trên \(\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Suy ra hai phương trình \(f(x) = \frac{a}{{{x^3}}},f(x) = \frac{b}{{{x^3}}}\) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác c.

Vậy phương trình \(f\left( {{x^3}f(x)} \right) + 1 = 0\) có đúng 6 nghiệm.