Hệ tọa độ trong không gian (tọa độ véc tơ)

Lý thuyết về tọa độ véc tơ môn toán lớp 12 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(377) 1255 23/09/2022

1. Định nghĩa

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho véc tơ \(\overrightarrow u \). Tồn tại duy nhất bộ số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u  = x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j  + z.\overrightarrow k \). Khi đó \(\left( {x;y;z} \right)\) được gọi là tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow u \). Kí hiệu \(\overrightarrow u  = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow u \left( {x;y;z} \right)\).

2. Tính chất

Cho các véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right),k\) là một số thực tùy ý. Ta có các tính chất sau:

+) \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\)

+) \(\overrightarrow {{u_1}}  \pm \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{x_1} \pm {x_2};{y_1} \pm {y_2};{z_1} \pm {z_2}} \right)\)

+) \(k\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {k{x_1};k{y_1};k{z_1}} \right)\)

+) \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\)

+) \(\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {{u_1}} }^2}}  = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \)

+) \(\overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 \) \(\Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0\)

+) \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} \) \(= \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\) với \(\overrightarrow {{u_1}}  \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {{u_2}}  \ne \overrightarrow 0 \)

3. Liên hệ giữa tọa độ véc tơ và tọa độ các điểm mút

+) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\)

+) \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \) \(= \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

(377) 1255 23/09/2022