Tích phân (phương pháp đổi biến)

Lý thuyết về sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân môn toán lớp 12 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(385) 1284 26/07/2022

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

\(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}\)

- Công thức đổi biến: \(\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx}  = \int\limits_{t\left( a \right)}^{t\left( b \right)} {f\left( t \right)dt} \)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Ví dụ: Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).

Giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3  \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Do đó: \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} - {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}\).

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.\).

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \)

Ví dụ: Cho $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} $, nếu đặt $x = \sin t$ thì:

A. $I = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $

B. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

C. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

D. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\cos 2t - 1}}{2}{\rm{d}}t} $

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

Suy ra

$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t}  $ $= \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

Chọn C.

Chú ý:

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:

(385) 1284 26/07/2022