Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và đường thẳng MÔN TOÁN Lớp 12 kèm bài tập vận dụng
(479) 1595 23/09/2022

1. Kiến thức cần nhớ

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta \) (đi qua \(M\) và có VTCP \(\overrightarrow u \)). Khi đó:

+) \(\Delta  \cap \left( S \right) = \emptyset  \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) > R\).

+) \(\Delta  \cap \left( S \right) = \left\{ H \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\).

+) \(\Delta  \cap \left( S \right) = \left\{ {A,B} \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) < R\).

ở đó \({R^2} = {d^2}\left( {I,\Delta } \right) + \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) và \(AB = 2\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\Delta } \right)} \)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

- Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với \(R\).

- Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.

Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.

- Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.

- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.

- Bước 2: Xét phương trình giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\), điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp chung:

Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.

(479) 1595 23/09/2022