Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp về tương giao giữa hai đồ thị hàm số:

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.

- Bước 2: Giải phương trình tìm \(x\), rồi từ đó suy ra \(y\) và tọa độ giao điểm.

Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) trên TXĐ.

+ Tính \(h'\left( x \right)\), giải phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm và các điểm \(h'\left( x \right)\) không xác định.

+ Xét dấu \(h'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.

- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) với trục hoành (đường thẳng \(y = 0\))

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\) có nghiệm trên đoạn cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

+ Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và các điểm \(f'\left( x \right)\) không xác định.

+ Xét dấu \(f'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.

- Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\) có một, hai,… nghiệm là đường thẳng \(y = g\left( m \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), từ đó suy ra điều kiện của \(g\left( m \right)\).

- Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn \(m\) ở trên và tìm điều kiện của \(m\).

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \(m\) và \(x\))

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\)

- Bước 2: Tính \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c,\Delta ' = {b^2} - 3ac\)

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm:

+) Phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

+) Phương trình có 2 nghiệm nếu \(f\left( {{x_1}} \right) = 0\) hoặc \(f\left( {{x_2}} \right) = 0\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

+) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\end{array} \right.\)

- Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của \(m\).

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \(m\) và \(x\))

- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\)

- Bước 2: Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\left( * \right)\).

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:

+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm phân biệt dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu (*) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng \(0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P = 0\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu (*) có 1 nghiệm kép bằng \(0\) hoặc có 1 nghiệm bằng \(0\) và 1 nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\S = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm hoặc nghiệm kép âm\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).

- Bước 4: Kết luận điều kiện của \(m\)