Từ đồ thị ta thấy hệ số a>0 do nhánh phải hướng lên trên. Do đó loại B và C.

Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại A(0;1). Do đó chọn A.

Ta có: \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-4z-25=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=34\)

Vậy \(I\left( 1;-2;2 \right); R=\sqrt{34}\)

Dựa vào bảng biến thiên hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 0;1 \right)\).

Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức \({{x}^{\alpha }}+{{y}^{\alpha }}={{\left( x+y \right)}^{\alpha }}\) SAI

\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = {2^1}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}\)

\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_5} = {u_1} + 4d = 2 + 4.3 = 14\)

M(1;-2) là điểm biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng -2, tức là 1-2i.

\(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  + \,\int\limits_3^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  = 10 \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  = 10 - \int\limits_3^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \)

Mặt khác \(\,\int\limits_3^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  = 4 \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)d{\rm{x}}}  = 10 - 4 = 6\)

Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là \(C_{9}^{4}\).

Diện tích mặt đáy là \({{S}_{ABCD}}=4{{a}^{2}}\).

Thể tích của khối chóp S.ABCD là \(V=\frac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}a.4{{a}^{2}}=\frac{4{{a}^{3}}}{3}\).

\(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 0;3;-1 \right)\) là một vectơ chỉ phương của d.

\(z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{2 - 2i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {2 - 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{ - 2 - 6i}}{5} =  - \frac{2}{5} - \frac{6}{5}i\)

\(f\left( x \right) = {6^{1 - 3x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {1 - 3x} \right)^\prime }{.6^{1 - 3x}}.\ln 6 =  - {3.6^{1 - 3x}}.\ln 6\)

Tọa độ trung điểm của AB là: \(\left( {\frac{{2 + 2}}{2};\frac{{ - 4 + 2}}{2};\frac{{3 + 7}}{2}} \right) = \left( {2; - 1;5} \right)\)

Ta có \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\) nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=2.

Theo công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy r và đường cao h là \(V=\pi {{r}^{2}}h\).

Gọi \(h;\,l;\,r\) lần lượt là chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón.

Ta có \(l=AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=10$\[\,cm.\)

Mà \({{S}_{toan\,\,pha\grave{a}n}}={{S}_{xung\,\,quanh}}+{{S}_{\tilde{n}a\grave{u}y}}=\pi rl+\pi {{r}^{2}}=\pi .6.10+\pi {{.6}^{2}}=96\pi \,\left( c{{m}^{2}} \right).\)

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\cos x\) là: sinx + C

Thay tọa độ điểm M vào vế trái của các mặt phẳng ta được:

A. \(3+4-7=0\Rightarrow M\in \left( R \right)\).

B. \(3+4-2+5=10\ne 0\Rightarrow M\notin \left( S \right)\).

C. \(3-1=2\ne 0\Rightarrow M\notin \left( Q \right)\).

D. \(-2-2=-4\ne 0\Rightarrow M\notin \left( P \right)\).

Dựa vào đồ thị trên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 2.

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.\), trong đó x=1 là nghiệm kép.

Vậy hàm số \(y=f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị.

\(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-1;2 \right), \,\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-3 \right)\), Gọi \(I=d\cap \left( P \right), I\in d\Rightarrow I\left( 2t;3+t;2-3t \right)\)

\(I\in \left( P \right) \Rightarrow 2t-\left( 3+t \right)+2\left( 2-3t \right)-6=0 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow I\left( -2;2;5 \right)\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} \\ \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;7;3} \right)\)

Và đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm I. Vậy \(\Delta :\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-5}{3}.\)

Gọi H là trung điểm AB.

Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra \(SH\bot AB\).

Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra \(SH\bot \left( ABCD \right)\).

Xét tam giác SHA vuông tại H.

\(SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)

Diện tích hình vuông là \({{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \(V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}\).

Chọn 4 quả cầu trong 20 quả cầu có \(C_{20}^{4}\).

Chọn 2 quả cầu đỏ trong 5 quả cầu có \(C_{5}^{2}\).

Chọn 2 quả cầu trong 15 quả cầu (gồm 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng) có \(C_{15}^{2}\).

Số cách chọn 4 quả cầu có đúng 2 quả cầu màu đỏ là \(C_{5}^{2}C_{15}^{2}\).

Xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ là \(\frac{C_{5}^{2}C_{15}^{2}}{C_{20}^{4}}=\frac{70}{323}\).

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)} dx = \left( {4x + \cos x} \right)\left| \begin{array}{l} \frac{\pi }{2}\\ 0 \end{array} \right. = \left( {2\pi + \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 + \cos 0} \right) = 2\pi - 1\)

\( \Rightarrow a\pi + b = 2\pi - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1\)

\(F(x)=\int{f(x)\text{d}x=}\int{({{e}^{-x}}+\sin x)\text{d}x=-}\int{{{e}^{-x}}\text{d}(-x)+\int{\sin x}\text{d}x=-}{{e}^{-x}}-\cos x+C\)

\(F(0)=\ 0\Leftrightarrow -1-1+C=0\Leftrightarrow C=2\).

Vậy \(F(x)=\ -{{e}^{-x}}-\cos x+2\).

Bất phương trình \( \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 8x > 0\\ {x^2} - 8x < {3^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 8x > 0\\ {x^2} - 8x - 9 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x > 8\\ x < 0 \end{array} \right.\\ - 1 < x < 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\ 8 < x < 9 \end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - 1\,;0} \right) \cup \left( {8\,;9} \right)\)

Điều kiện: x>9.

Ta có \({{\log }_{3}}\left( x-9 \right)=3\Leftrightarrow x-9=27\Leftrightarrow x=36\).

Giả sử: H là hình chiếu vuông góc của I lên trục \(Oy\Rightarrow H\left( 0;\,-2;\,0 \right)\).

R là bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục \(Oy\Rightarrow R=IH=\sqrt{10}\).

\(\Rightarrow \) Phương trình mặt cầu là: \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=10\)

\(\left( {5 - i} \right)z = 7 - 17i \Rightarrow z = \frac{{7 - 17i}}{{5 - i}} = 2 - 3i\)

Vậy phần thực của số phức z bằng 2.

Hàm số có tập xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y=\frac{x+1}{x-1}\Rightarrow {y}'=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty \,;\,1 \right)\) và \(\left( 1\,;\,+\infty  \right)\).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 1\,;\,2 \right)\).

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Dựng \(AH\bot BD\).

Ta có: \({A}'I\bot \left( ABCD \right)\) mà \(AH\subset \left( ABCD \right)\) nên \({A}'I\bot AH\)

Từ đó ta được \(AH\bot \left( {A}'BD \right)\)

Suy ra \(d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại A: \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}.A{{D}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Theo bài ra ta có \(OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{6{{a}^{2}}}{9}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}\) và \(OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{9}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\).

Chọn hệ trục Oxyz, với \(O\left( 0;0;0 \right),A\left( \frac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right),\,B\left( 0;\frac{a\sqrt{3}}{3};0 \right),S\left( 0;0;\frac{a\sqrt{6}}{3} \right)\), \(C\left( -\frac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right), D\left( 0;-\frac{a\sqrt{3}}{3};0 \right)\).

Phương trình mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( -1;\sqrt{2};1 \right)\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD) là \(\overrightarrow{n}'=\left( -1;-\sqrt{2};1 \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) ta có:

\(cos\varphi =\left| cos\left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{n'} \right) \right|=\frac{\left| 1-2+1 \right|}{\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}}\,.\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}}}=0\)

Suy ra góc \(\varphi ={{90}^{0}}\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là \({{90}^{0}}\)

Cho \(x=0\Rightarrow y=-3\).

Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( 0;\,-3 \right)\).

Nhìn vào đồ thị ta thấy: \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên miền \(\left[ -2;6 \right]\) là M=6, \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên miền \(\left[ -2;6 \right]\) là m=-4.

Do đó, T=2M+3m=2.6+3.(-4)=0.

Có \(z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi\) (a, \(b\in \mathbb{R}\)).

Từ \(2z-3i.\bar{z}+6+i=0\) suy ra: \(2\left( a+bi \right)-3i\left( a-bi \right)+6+i=0\)

\(\Leftrightarrow 2a+2bi-3ai-3b+6+i=0\Leftrightarrow 2a-3b+6+\left( 2b-3a+1 \right)i=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a - 3b = - 6\\ 3a - 2b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 4 \end{array} \right.\)

Vậy S = a - b =  - 1

Ta có \({{\log }_{5}}560={{\log }_{5}}{{7.4}^{2}}.5={{\log }_{5}}7+2{{\log }_{5}}4+1=a+2b+1\)

\(m=1,\,n=2,\,p=1\Rightarrow S=3\)

Ta có \(2x + 1 + \left( {1 - 2y} \right)i = 2\left( {2 - i} \right) + yi - x \Leftrightarrow 2x + 1 + \left( {1 - 2y} \right)i = 4 - x + \left( {y - 2} \right)i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 = 4 - x}\\ {1 - 2y = y - 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {y = 1} \end{array}} \right.\)

Thay \(\left\{ \begin{matrix} x=1 \\ y=1 \\ \end{matrix} \right.\) vào ta có \({{x}^{2}}-3xy-y=-3\).

Do m là số nguyên dương nên 2m >1 => \({{\log }_{3}}2m>0\).

\({{3}^{x+2}}-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow {{3}^{x+2}}={{3}^{\frac{1}{2}}}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

\({{3}^{x}}-2m=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}2m\).

Lập bảng biến thiên, ta kết luận: tập nghiệm bất phương trình này là \(\left( -\frac{3}{2};{{\log }_{3}}2m \right)\)

Suy ra, \({{\log }_{3}}2m\le 8\Leftrightarrow 2m\le {{3}^{8}}\Leftrightarrow m\le \frac{6561}{2}=3280.5\). 

Ta có trục tung có phương trình là: x=0.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng x=1 là \(S=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}x}\).

Mặt khác

\(S = \int\limits_0^1 {x\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{d}}\left( {1 + {x^2}} \right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right. = \frac{1}{3} \cdot \left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} \left| \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right. = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3} \cdot \)

Biết \(S=a\sqrt{2}+b\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)\) nên \(a=\frac{2}{3}\) và \(b=-\frac{1}{3}\cdot \)

Vậy \(a+b=\frac{1}{3}\cdot \).

Gọi \(A={{d}_{1}}\cap \left( \alpha\right)\Rightarrow A\left( -2;1;-3 \right),\,\,B={{d}_{2}}\cap \left( \alpha\right)\Rightarrow B\left( -10;8;-4 \right)\).

Do đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha\right)\), cắt cả hai đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) nên \(\Delta \) đi qua A và B. Khi đó \(\overrightarrow{AB}=\left( -8;7;-1 \right)=-\left( 8;-7;1 \right)\).

Vậy \(\Delta :\frac{x+2}{8}=\frac{y-1}{-7}=\frac{z+3}{1}\).

Theo bài ra ta có \(f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}\).

Suy ra \(g\left( x \right)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-6x+1\).

Suy ra \(g'\left( x \right)=12{{x}^{2}}-6x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\)

Đồ thị hàm số lên - xuống – lên.

Hàm số \(g\left( x \right)=f'\left( x \right)-3{{x}^{2}}-6x+1\) đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại \({{x}_{1}}=1,\text{ }{{\text{x}}_{2}}=-\frac{1}{2}\).

Suy ra \(m = g\left( 1 \right).g\left( 2 \right) = \left( {4 - 3 - 6 + 1} \right)\left[ {4.{{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^3} - 3.{{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^2} - 6.\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + 1} \right] = - 11\)

Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Gọi \(E,\,\,E'\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ABC,\,\,A'B'C'\), M là trung điểm BC và I là trung điểm EE'. Do hình lăng trụ đều nên EE' là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC,\,\,A'B'C'\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

\(AE=\frac{a\sqrt{3}}{3},\,IE=\frac{b}{2}\Rightarrow R=IA=\sqrt{A{{E}^{2}}+I{{E}^{2}}}=\sqrt{\frac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}.\)

Thể tích khối cầu là \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{\frac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}} \right)}^{3}}=\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)

Từ giả thiết \(x\left( 4-f'\left( x \right) \right)=f\left( x \right)-1\Rightarrow x.{f}'\left( x \right)+f\left( x \right)=4x+1\Leftrightarrow {{\left[ xf\left( x \right) \right]}^{\prime }}=4x+1\).

\(\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ xf\left( x \right) \right]}^{\prime }}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 4x+1 \right)\text{d}x}\Leftrightarrow \left. xf\left( x \right) \right|_{1}^{2}=\left. \left( 2{{x}^{2}}+x \right) \right|_{1}^{2}\).

\(\Leftrightarrow 2f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=7\Rightarrow f\left( 2 \right)=\frac{7+f\left( 1 \right)}{2}=\frac{7+3}{2}=5\).

Do parabol có tính đối xứng qua trục tung nên ta có thể giả sử \(M(a;\,{{a}^{2}})\,\,\left( 0<a<5 \right)\)

Suy ra pt đường thẳng y=ax.

Từ đồ thị, ta có diện tích mảnh vườn trồng hoa: \(S=\int\limits_{0}^{a}{\left( ax-{{x}^{2}} \right)}dx\)

\(\left. \left( \frac{a{{x}^{2}}}{2}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{a}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow \frac{{{a}^{3}}}{6}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=3\Rightarrow M\left( 3;9 \right)\)

\(\Rightarrow OM=\sqrt{M{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{9}^{2}}}=3\sqrt{10}\)

Ta có \(\int{{f}'\left( x \right)}\text{d}x=\int{\left( 2{{\sin }^{2}}x+1 \right)\text{d}x=\int{\left( 2-\cos 2x \right)}}\text{d}x=2x-\frac{1}{2}\sin 2x+C.\)

Suy ra \(f\left( x \right)=2x-\frac{1}{2}\sin 2x+C.\)

Vì \(f\left( 0 \right)=4\Rightarrow C=4\) hay \(f\left( x \right)=2x-\frac{1}{2}\sin 2x+4.\)

Khi đó: \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 2x-\frac{1}{2}\sin 2x+4 \right)\text{d}x}\)

\(=\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{4}\cos 2x+4x \right)\left| \begin{align} & \frac{\pi }{4} \\ & 0 \\ \end{align} \right.=\frac{{{\pi }^{2}}}{16}+\pi -\frac{1}{4}=\frac{{{\pi }^{2}}+16\pi -4}{16}.\)

Gọi \(M\left( x;y;z \right)\), suy ra

\(M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9 \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}-\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]=9\)

\(\Leftrightarrow  x+y+z-4=0\)

Suy ra: Tập các điểm \(M\left( x;y;z \right)\) thỏa mãn \(M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9\) là mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-4=0\)

Trên \(\left( {{S}_{m}} \right)\) tồn tại điểm M sao cho \(M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9\) khi và chỉ khi \(\left( {{S}_{m}} \right)\) và \(\left( P \right)\) có điểm chung \(\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)\le R \Leftrightarrow \frac{\left| 1+1+m-4 \right|}{\sqrt{1+1+1}}\le \frac{\left| m \right|}{2} \Leftrightarrow 2\left| m-2 \right|\le \sqrt{3}\left| m \right|\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+16\le 0 \Leftrightarrow 8-4\sqrt{3}\le m\le 8+4\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là \(8-4\sqrt{3}\).

Ta có \({{3}^{x-3+\sqrt[3]{m-3x}}}+({{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+m){{.3}^{x-3}}={{3}^{x}}+1\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+({{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+m)=\frac{{{3}^{x}}+1}{{{3}^{x-3}}}\)

\(\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+{{(x-3)}^{3}}+m-3x={{3}^{3-x}}\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+(m-3x)={{3}^{3-x}}+{{(3-x)}^{3}}\) (1).

Xét hàm số \(f(t)={{3}^{t}}+{{t}^{3}}\) với \(t\in \mathbb{R}\), ta có: \(f'(t)={{3}^{t}}\ln 3+3{{t}^{2}}>0,\forall t\in \mathbb{R}\).

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f(\sqrt[3]{m-3x})=f(3-x)\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3x}=3-x\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x+27 \left( 2 \right)\).

Pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt \(\left( 2 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số \(y=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x+27\) có \(y'=-3{{x}^{2}}+18x-24\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\)

BBT

Từ bbt suy ra pt(2) có 3 nghiệm phân biệt khi 7<m<11. Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \left\{ 8,9,10 \right\}\)

Suy ra : \(\sum{m}=27\).

Gọi \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,\,\,{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i\), với \({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R}\).

Do \(\left| {{z}_{1}}+6 \right|=5\Rightarrow \left| {{x}_{1}}+6+{{y}_{1}}i \right|=5\Rightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+6 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}}=5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+6 \right)}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=25\)

\(\Rightarrow \) Điểm \({{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\) biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) thuộc đường tròn \((C):{{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\)

Do \(\left| {{z}_{2}}+2-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-2-6i \right|\Rightarrow \left| {{x}_{2}}+2+\left( {{y}_{2}}-3 \right)i \right|=\left| {{x}_{2}}-2+\left( {{y}_{2}}-6 \right)i \right|\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 8{{x}_{2}}+6{{y}_{2}}-27=0\)

\(\Rightarrow \) Điểm \({{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) biểu diễn số phức \({{z}_{2}}\) thuộc đường thẳng d:8x+6y-27=0.

\(\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}}+\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)i \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}=\left| \overrightarrow{{{M}_{2}}{{M}_{1}}} \right|={{M}_{1}}{{M}_{2}}\)

Đường tròn (C) có tâm \(I\left( -6;0 \right)\), bán kính R=5. Ta có \(d\left( I,d \right)=\frac{\left| 8.\left( -6 \right)+6.0-27 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\frac{15}{2}\)

\(\Rightarrow \) d và (C) không có điểm chung.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, A là giao điểm của đoạn IH và (C)

\(\Rightarrow AH=IH-R=d\left( I,d \right)-R=\frac{5}{2}\) (hình vẽ).

Ta có bảng biến thiên của các hàm số \(f\left( x-2018 \right)\,\,,f\left( x-2018 \right)+2019\,,\,\left| f\left( x-2018 \right)+2019 \right|\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-2018 \right)+2019 \right|\) có 5 điểm cực trị.