Điều kiện xác định của phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\2{x^2} - 7x + 5 > 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right)\)

Chọn đáp án D.

Ta có \({3^{3x + 1}} = 27\)

\(\Leftrightarrow {3^{3x + 1}} = {3^3}\)

\(\Leftrightarrow \,3x + 1 = 3\)

\(\Leftrightarrow \,\,x = \dfrac{2}{3}\)

Chọn đáp án C.

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 + 3i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}\\
= \frac{{1 + 3i + 2i + 6{i^2}}}{{{1^2} - 4{i^2}}}\\
= \frac{{1 + 5i - 6}}{{1 + 4}} = \frac{{ - 5 + 5i}}{5}\\
= - 1 + i
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có: \(z = \dfrac{{1 + 3i}}{{1 - 2i}} = a + bi\)

\(\Leftrightarrow 1 + 3i = \left( {1 - 2i} \right)\left( {a + bi} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 + 3i = a + bi - 2ai + 2b\)\( \Leftrightarrow \left( {2a - b + 3} \right)i + 1 - a - 2b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b + 3 = 0\\1 - a - 2b = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b =  - 3\\a + 2b = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(z =  - 1 + i\)

Chọn đáp án B

\(\begin{array}{l}
\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {1 + i - 1 + i} \right|\\
= \left| {2i} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2}} = 2
\end{array}\)

nên A sai.

\(\begin{array}{l}\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}}\\ = \frac{{1 + 2i + {i^2}}}{{1 - {i^2}}} = \frac{{1 + 2i - 1}}{{1 + 1}}\\ = \frac{{2i}}{2} = i\end{array}\)

Nên B đúng.

\({z_1} + {z_2} = 1 + i + 1 - i = 2\)

Nên C đúng.

\(\begin{array}{l}{z_1}.{z_2} = \left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)\\ = 1 - {i^2} = 1 + 1 = 2\\ \Rightarrow \left| {{z_1}.{z_2}} \right| = 2\end{array}\)

Nên D đúng.

Chọn đáp án A.

Ta có:

\(OA = OB = OC = OD = \dfrac{{AC}}{2} \)\(\,= \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - OA{}^2} \)\(\, = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Khi đó:

\(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2}\)\(\, = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

Chọn đáp án C.

Áp dụng định lý Py – ta- go ta có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  \)

\(\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}a.a\sqrt 3 \)\(\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Khi đó:

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 6 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \)\(\,= \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}{x^4} - 8{x^2} + 3 = 4m\\ \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^2} + 3 - 4m = 0\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2}\) phương trình\(\) \(\left( * \right)\) \(\) \( \Leftrightarrow {t^2} - 8t + 3 - 4m = 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} - 8t + 3 - 4m = 0\)

Để đồ thị và đường thẳng cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì phương trình ẩn t phải có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 13 + 4m > 0\\{t_1}{t_2} = 3 - 4m > 0\\{t_1} + {t_2} = 8 > 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 13}}{4}\\m < \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 13}}{4} < m < \dfrac{3}{4}\end{array}\)

TXĐ \(x \ne 1\)

\(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}}\)\(\, = 2 + \dfrac{3}{{x - 1}}\)

Để số điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên thì\(\) \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\x - 1 =  - 1\\x - 1 = 3\\x - 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\\x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy có 4 điểm.

Quãng đường vật đi được sau 4s là:

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}} \right)\,dt}  \)

\(= \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + t - 3 + \dfrac{{13}}{{t + 3}}} \right)\,dt}  \)

\(= \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} - 1,8t + 13\ln \left| {t + 3} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right.\)

\( = \left( {8 - 1,8.4 + 13\ln 7} \right) - 13\ln 3\)\( \approx 12\left( m \right)\)

Chọn đáp án B.

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^2}} dx = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{3}\)

\(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^3}} dx = \left( {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{4}\)

Chọn đáp án A.

Ta có

\({3^{2x - 5}} < 9\, \Leftrightarrow \,\,\,{3^{2x - 5}} < {3^2}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,2x - 5 < 2\,\,\, \Leftrightarrow x < \dfrac{7}{2}\)

Chọn đáp án A.

Giả sử gọi \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + bi\\y = m + ni\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overline x  = a - bi\\\overline y  = m - ni\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(x + \overline y \, = a + bi + m - ni \)\(\,= \left( {a + m} \right) + \left( {b - n} \right)i\,\)

\(\,\overline x  + y = a - bi + m + ni \)\(\,= \left( {a + m} \right) - \left( {b - n} \right)i\)

\( \Rightarrow \)\(x + \overline y \,,\,\,\overline x  + y\) là hai số phức liên hợp của nhau

\(x\overline y  = \left( {a + bi} \right)\left( {m - ni} \right) \)\(\,= am - ani + bmi + bn \)\(\,= \left( {am + bn} \right) - \left( {an - bm} \right)i\)

\(\overline x y = \left( {a - bi} \right)\left( {m + ni} \right) \)\(\,= am + ani - bmi + bn \)\(\,= \left( {am + bn} \right) + \left( {an - bm} \right)i\)

\( \Rightarrow \) \(x\overline y \,,\,\,\overline x y\) là hai số phức liên hợp của nhau.

\(x - \overline y  = a + bi - \left( {m - ni} \right) \)\(\,= \left( {a - m} \right) + \left( {b + n} \right)i\)

\(\overline x  - y = a - bi - m - ni \)\(\,= \left( {a - m} \right) - \left( {b + n} \right)i\)

\( \Rightarrow \)\(x - \overline y \,,\,\,\overline x  - y\) là hai số phức liên hợp của nhau.

Do đó A, B, C đúng.

D sai vì \(\overline y  - x\,,\,\,x - \overline y \) là hai số phức đối nhau.

Chọn đáp án D.

Gọi I là trung điểm của AB, H là chân đường vuông góc của O lên mp (SAB)

\(\begin{array}{l}SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{8^2} - {5^2}}  = \sqrt {39} \\OI = \sqrt {O{A^2} - I{A^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\\\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{1}{{39}} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{{16}}{{117}}\\ \Rightarrow OH = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{4}\end{array}\)

Chọn B

Gọi d là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB.

Suy ra \({S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}d.AB\)

Vì \({S_{MAB}};AB\)  là hằng số nên d không đổi .

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là một mặt trụ tròn xoay.

Chọn B.

Véc tơ \(\overrightarrow j \) là véc tơ đơn vị của trục \(Oy\).

Chọn B.

Ta có: \(\left| {\overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow j } \right| = \left| {\overrightarrow k } \right| = 1\) nên B đúng và các đáp án còn lại sai.

Chọn B.

TXĐ: D=R\{2}

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 nên A đúng.

TXĐ: D=R\{3}

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x - 3}} = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x - 3}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{2x - 1}}{{x - 3}} =  - \infty \end{array}\)

Có 2 tiệm cận \(y = 2,x = 3\).

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx}  = \left( {x\ln x} \right)\left| {_1^e} \right. - \int\limits_1^e {dx} \)\(\, = e - \left( x \right)\left| {_1^e} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\)

Chọn đáp án A.

Ta có \(\int {f\left( x \right)} \,dx = F\left( x \right) + C\)

\( \Rightarrow \)\(CF\left( x \right)\) không phải là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)với mọi số thực \(C \ne 1\).

Chọn đáp án C.

Ta có

\(\begin{array}{l}\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\dfrac{1}{2}}}} } }  \\= \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\dfrac{3}{2}}}} } }  = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\dfrac{3}{4}}}} } \\= \sqrt {x\sqrt {{x^{\dfrac{7}{4}}}} } = \sqrt {x.{x^{\dfrac{7}{8}}}} \\ = \sqrt {{x^{\dfrac{{15}}{8}}}}  = {x^{\dfrac{{15}}{{16}}}}\end{array}\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \({z_1}{z_2} = \left( {2 + 3i} \right)\left( {1 - 2i} \right) \)\(\,= 2 - 4i + 3i + 6 = 8 - i\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Chọn đáp án D.

\(TXD:D = R\backslash {\rm{\{ }}\dfrac{2}{3}{\rm{\} }}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{3x - 1}}{{3x + 2}} = 3\)

Vậy TCN:  y=1.

Ta có: \(\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx}  \)

\(=  - \dfrac{1}{3}\int {{e^{3\cos x}}\,d\left( {3\cos x} \right)}  \)

\(=  - \dfrac{1}{3}{e^{3\cos x}} + C\)

Chọn đáp án C.

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có: \(AH = \sqrt {A{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  \)\(\,= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

+ \(\tan {30^0} = \dfrac{{SA}}{{AH}}\)

\(\Rightarrow SA = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Vậy\(V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\)\(\, = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Chọn đáp án B

Hình hộp là đa diện có tâm đối xứng.

Chọn đáp án D.

Gọi a là chiều cao của khối trụ suy ra khối trụ có bán kính bằng \(\dfrac{a}{2}\) .

Ta có: \({S_{xq}} = 2\pi .\dfrac{a}{2}.a = 4\pi  \Leftrightarrow a = 2\)

Diện tích toàn phần của khối trụ là: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d} = 4\pi  + 2.\pi {.1^2} = 6\pi \)

Chọn A.

Ta có: \(\left| {\overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow j } \right| = \left| {\overrightarrow k } \right| = 1\) hoặc \({\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1\) nên \(\left| {\overrightarrow i } \right| = {\overrightarrow k ^2}\) đúng.

Chọn A.

TXĐ: \(D=R\)

\(\begin{array}{l}y = {x^3} + 3x\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0\forall x \in R\end{array}\)

Vậy hàm số đồng biếm trên R.

Phương trình hoành độ giao điểm là

\(\begin{array}{l} - {x^3} + 3{x^2} + 2x - 1 = 3{x^2} - 2x - 1\\ \Leftrightarrow  - {x^3} + 4x = 0\\ \Leftrightarrow  - x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \)

\(= \int {\dfrac{{2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + x - 2 + 1}}{{x - 2}}} \,dx \)

\(= \int {\left( {2\left( {x - 2} \right) + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)} \,dx\)

\( = \left( {{x^2} - 3x + \ln \left| {x - 2} \right|} \right) + C\)

Chọn đáp án B.

+ Ta có: \(\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right|}  + C \to \) Đáp án B sai.

+ Ta có \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha  \in R} ,\alpha  \ne 1 \to \) Đáp án A sai.

+ Ta có: \(\int \dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}\)

\(= \dfrac{1}{{a - b}}\int {\left( {\dfrac{1}{{x + b}} - \dfrac{1}{{x + a}}} \right)\,dx}\)

\(=  \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C \)

Chọn đáp án C.

Ta có: \(\dfrac{{{V_{A.B'C'D}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \dfrac{{AB'}}{{AB}}.\dfrac{{AC'}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \({S_d} = \dfrac{1}{2}a.a.\sin {60^0} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \(V = a.{S_d} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Chọn đáp án C.

Chiều cao hình trụ \(h = 4d = 4.2r = 8a\)

Bán kính đáy hình trụ là R = a

Diện tích xung quanh của khối trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .a.8a = 16\pi {a^2}\)

Chọn  C.

Điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j  + z.\overrightarrow k \)

Chọn A.

Ta có: \(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx}  = \int {{3^{{x^2}}}} d\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{2}\int {{3^{{x^2}}}} d\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{\ln 3}} + C\)   

Chọn đáp án C.

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx}  \)\(\,=  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\,d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin \left( {a - x} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I =  - \left( {x\sin \left( {a - x} \right)} \right)\left| {_{_{\scriptstyle\atop{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin \left( {a - x} \right)} \,dx\)

\(=  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} d \left( {\cos \left( {a - x} \right)} \right)\)

\( =  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. \)

\(=  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) - \cos a\)

\( = \dfrac{\pi }{2}\cos a + \sin a - \cos a \)

\(= \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\,\cos a + \sin a\)

Chọn đáp án C.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow x > 0\). Ta có phương trình tương đương

\({\mathop{\rm lnx}\nolimits} \left( {x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 1\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) .

Trong đó: \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \in (0;1)\).

Chọn đáp án D.

\(\begin{array}{l}
\left| z \right| + z = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
\left| a \right| + a = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
\left| a \right| = - a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 0\\
a \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Chọn đáp án C.

Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{tp}} = 2\pi r\left( {r + h} \right) = 2\pi .5\left( {5 + 7} \right)\)\(\, = 120\pi \)

Chọn đáp án B.

Ta có: \(SA' = \dfrac{1}{3}SA \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SB' = \dfrac{1}{3}SB\\SC' = \dfrac{1}{3}SC\\SD' = \dfrac{1}{3}SD\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}} \)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}} \)

\(\Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_{S.ABC}}\)

\(\dfrac{{{V_{S.A'D'C'}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}} \)

\(\Rightarrow {V_{S.A'D'C'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_{S.ADC}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.A'B'C'D'}} = {V_{S.A'B'C'}} + {V_{S.A'D'C'}} \)\(\,= \dfrac{1}{{27}}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}} \right) = \dfrac{V}{{27}}\)

Chọn đáp án A.

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow M\left( {1; - 3;1} \right)\).

Chọn C.

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Xét tam giác ABD có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AD\\\widehat A = {60^ \circ }\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều

Hay \(AB = AD = BD = a \Rightarrow BO = \dfrac{a}{2}\)

Khi đó \(B'O = \sqrt {B{{B'}^2} - B{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  \)\(\,= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow V = B'O.{S_{ABCD}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.2.a \)\(\,= \dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

Chọn đáp án A.

Quan sát đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \) nên \(a > 0\), loại B, C.

Đồ thị hàm số đi qua \(\left( {1;1} \right)\) nên A đúng, D sai.

Ta có

\(\begin{array}{l}{2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\,\, \Leftrightarrow {2^{2{x^2} - 7x + 5}} = {2^0}\\  \Leftrightarrow \,\,2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy số nghiệm của phương trình là 2.

Chọn đáp án C.

Nghịch đảo của số phức z=i là \(\frac{1}{z} = \frac{1}{i} = \frac{i}{{{i^2}}} = \frac{i}{{ - 1}} =  - i\)

Chọn đáp án D.

Ta có: \(2{z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow z =  - 1 \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}i\)

Chọn đáp án C

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {{x^3}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}^{}\end{array} \right.\)\(\, = \left| {\dfrac{1}{4} - 4} \right| = \dfrac{{15}}{4}.\)

Chọn đáp án C.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}  = \left( { - \cot x} \right) + C\)

Theo giả thiết ta có: \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - \cot \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = \sqrt 3 \)

Chọn đáp án B.