Bội chung và bội chung nhỏ nhất

I. Bội chung

1. Định nghĩa

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

2. Kí hiệu

+ BC\(\left( {a;b} \right)\) là tập hợp các bội chung của \(a\) và \(b\).

3. Cách tìm bội chung

a) Tìm bội chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Ví dụ: \(B\left( 3 \right) = \left\{ {0;3;6;9;12;...} \right\}\); \(B\left( 2 \right) = \left\{ {0;2;4;6;8;10;12;...} \right\}\)

Nên \(BC\left( {2;3} \right) = \left\{ {0;6;12;...} \right\}\)

b) Tìm bội chung của ba số a, b và c

Bước 1: Viết tập hợp các bội của a, của b và của c: B(a), B(b), B(c)

Bước2: Tìm những phần tử chung của B(a), B(b) và B(c).

Nhận xét:

+) \(x \in BC\left( {a;b} \right)\) nếu \(x \vdots a\) và \(x \vdots b\)

+) \(x \in BC\left( {a;b;c} \right)\) nếu \(x \vdots a\); \(x \vdots b\)  và \(x \vdots c\)

Chú ý:

+ Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.

+ Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.

+ Kí hiệu: Giao của tập hợp A và tập hợp B là \(A \cap B\)

II. Bội chung nhỏ nhất

1. Định nghĩa

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó..

2. Kí hiệu

+) \(BCNN\left( {a,b} \right)\) là bội chung nhỏ nhất của \(a\) và \(b\).

+) BC\(\left( {a;b} \right)\) là tập hợp còn BCNN\(\left( {a,b} \right)\) là một số.

3. Cách tìm bội chung lớn nhất bằng định nghĩa

a) Cách tìm bội chung nhỏ nhất trong các trường hợp đặc biệt

Nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho là số lớn nhất đó.

Nếu \(a \vdots b\) thì \(BCNN\left( {a,b} \right) = a\)

Với mọi số tự nhiên a và b ta có:

\(BCNN\left( {a,1} \right) = a;\)\(BCNN\left( {a,b,1} \right) = BCNN\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ:

Bội chung nhỏ nhất của 12 và 36 là 12 vì \(36 \vdots 12\).

b) Cách tìm BCNN của hai số a và b bằng định nghĩa

Bước 1. Tìm tập hợp các bội chung của hai số a và b: BC\(\left( {a;b} \right)\)

Bước 2. Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung vừa tìm được: BCNN\(\left( {a,b} \right)\)

Ví dụ : Tìm BCNN (15 ; 20)

\(\begin{array}{l}B\left( {15} \right) = \left\{ {0;15;30;45;60;.75;90;105;120;..} \right\}\\B\left( {20} \right) = \left\{ {0;20;40;60;80;100;120;...} \right\}\\BC\left( {15,20} \right) = \left\{ {0;60;120;...} \right\}\end{array}\)

Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung trên là 60 nên BCNN (15 ; 20)=60.

III. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

1. Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN

Ví dụ: Tìm BCNN của \(15\) và \(20.\)

Ta có \(15 = 3.5;20 = {2^2}.5\)

Nên \(BCNN\left( {15;20} \right) = {2^2}.3.5 = 60.\)

2. Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ví dụ: \(BCNN\left( {15;20} \right) = 60\) nên \(BC\left( {15;20} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;60;120;...} \right\}\)

IV. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Tìm mẫu chung của hai phân số

Ví dụ:Quy đồng mẫu số hai phân số \(\dfrac{7}{{30}}\) và \(\dfrac{5}{{42}}\)

\(\begin{array}{l}30 = 2.3.5\\42 = 2.3.7\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN\left( {30;42} \right) = 2.3.5.7 = 210\\ \Rightarrow BC\left( {30;42} \right) = \left\{ {0;210;420;...} \right\}\end{array}\)

+) Cách 1: Chọn mẫu chung là 210. Ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{7}{{30}} = \dfrac{{7.7}}{{210}} = \dfrac{{49}}{{210}}\\\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{5.5}}{{42.5}} = \dfrac{{25}}{{210}}\end{array}\)

+) Cách 2: Chọn mẫu chung là một bội chung bất kì khác 0 của 30 và 42. Chẳng hạn 420, ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{7}{{30}} = \dfrac{{7.14}}{{30.14}} = \dfrac{{98}}{{420}}\\\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{5.10}}{{42.10}} = \dfrac{{50}}{{420}}\end{array}\)