Các dạng toán về phép nhân, phép chia các số nguyên (tiếp)

I. Áp dụng tính chất của phép nhân để tính nhanh

Phương pháp:

Bước 1: Quan sát biểu thức và nhận xét về tính chất của các số hạng và thừa số

Bước 2: Áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để tính toán được thuận lợi, dễ dàng.

Sử dụng các tính chất sau đây:

\(a.0 = 0\)

\(a.b = b.a\)

 $a.\left( {b + c} \right) = ab + ac.$       

$a.\left( {b - c} \right) = ab-ac.$

Ví dụ:

a) Tính nhanh: \(A = ( - 4).74.25\)

\(\begin{array}{l}A = ( - 4).74.25\\A = ( - 4).25.74\\A = - 100.74\\A = - 7400\end{array}\)

b) Tính hợp lí: \(B = 30.\left( { - 125} \right) + 25.30\)

 \(\begin{array}{l}B = 30.\left( { - 125} \right) + 25.30\\B = 30.\left[ {\left( { - 125} \right) + 25} \right]\\B = 30.\left( { - 100} \right)\\B = - 3000.\end{array}\).

II. Chứng minh các tính chất về sự chia hết

Phương pháp:

 Sử dụng định nghĩa $a = b.q$ $ \Leftrightarrow a \vdots b$ $\left( {a,b,q \in Z;b \ne 0} \right)$ và các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng, tính chất chia hết của một tổng.

Ví dụ:

Cho \(A = 24m + 21n\,\); \(m,n \in \mathbb{Z}\) chứng minh A chia hết cho 3.

Cách 1:

Ta có \(24m \vdots 3\) và \(21n \vdots 3\) suy ra \(A=\left( {24m + 21n\,} \right) \vdots 3\)

Cách 2: \(A = 24m + 21n\, = 3.8m + 3.7n = 3.\left( {8m + 7m} \right) \vdots 3\). Vậy \(A \vdots 3\).

III. Tìm ước và bội của một số nguyên cho trước

Phương pháp:

- Tìm các bội của một số nguyên cho trước.

 Dạng tổng quát của số nguyên $a$ là $a.m$$(m \in Z).$

- Tìm tất cả các ước của một số nguyên cho trước

+ Nếu số nguyên đã cho có thể nhẩm được các ước thì ta ưu tiên cách này.

+ Nếu số nguyên đã cho có nhiều ước hoặc khó để nhẩm thì ta phân tích số đó ra thừa số nguyên tố, từ đó tìm tất cả các ước của số đã cho.

Chú ý: Ta tìm các ước dương trước từ đó suy ra các ước âm.

Ví dụ:

a) Tìm các bội nguyên của 4.

Ta lấy 4 nhân lần lượt với các số nguyên: \(..; - \,2;\, - 1;0;1;2;..\)

Các bội nguyên của 4 là: \(..; - 8; - 4;\,0\,;\,4;\,8;..\)

b) Tìm các ước nguyên của 24

Phân tích 24 ra thừa số nguyên tố ta được: \(24 = {2^3}.3\)

Suy ra các ước nguyên của 24 là: \( \pm 1; \pm 2;\,\, \pm 3;\, \pm 4; \pm 6 \pm 8;\,\, \pm 12;\, \pm 24\).

IV. Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện về chia hết

Phương pháp:

- Dạng: biểu thức có dạng tổng các số hạng thì ta áp dụng tính chất:

Nếu $a + b$ chia hết cho $c$ và $a$ chia hết cho $c$ thì $b$ chia hết cho $c.$

- Dạng: Tìm x để \({\rm{a}} \vdots A(x)\) thì \(A(x) \in \)Ư(a), giải các trường hợp ta tìm được các giá trị của \(x\).

Ví dụ:

Tìm \(x\) để \(5 \vdots \left( {x - 2} \right)\)

\(5 \vdots \left( {x - 2} \right) \Rightarrow \left( {x - 2} \right) \in \)Ư(5) \( \Rightarrow \) \(\left( {x - 2} \right) \in \left\{ { - 1;1;5; - 5} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {1;3;7; - 3} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;3;7; - 3} \right\}\).