Bất đẳng thức

Các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức Cau - chy, bất đẳng thức Bunhia - Copxki, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối áp dụng trong bài toán chứng minh
(376) 1252 29/07/2022
Bài viết đã được lưu
Chia sẻ

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

    Tính chất cơ bản của Bất đẳng thức

    2. Bất đẳng thức Cô – si (Cauchy)

    a) Với $\forall a \ge 0;{\rm{ }}b \ge 0$ thì ta có: $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} .$

    Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$

    b) Với $\forall a \ge 0;{\rm{ }}b \ge 0;{\rm{ }}c \ge 0$ thì ta có: $\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}.$

    Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c.$

    c) Mở rộng:

    Với \({a_i} \ge 0\forall i = \overline {1,n} \) ta có: \({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}\)

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\)

    3. Bất đẳng thức Bunhia – Copxki (Cauchy Schwarz)

    a) $\forall x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}$ thì:

    +) ${(a.x + b.y)^2} \le ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})$

    +) $\left| {a.x + b.y} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} \cdot$

    Dấu $'' = ''$ xảy ra khi $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b},{\rm{ }}(a;{\rm{ }}b \ne 0).$

    b) $\forall x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z;{\rm{ }}a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c \in \mathbb{R}$ thì:

    +) ${(a.x + b.y + c.z)^2}$ $\le ({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})$

    +) $\left| {a.x + b.y + c.z} \right| $ $\le \sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})}$

    Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}(a;b;c \ne 0).$

    c) Mở rộng: $\forall x_i, a_i \in \mathbb{R}$, $i=1;2;...;n$

    +) \(\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \right)\)\( \ge {\left( {{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n}} \right)^2}\)

    +) $\left| {{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n}} \right| $$\le \sqrt {\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \right)}$

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{x_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{x_n}}}\)

    4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

    a) Với \(\forall x \in R\) ta có: \(\left| x \right| \ge 0,\left| x \right| \ge x,\left| x \right| \ge - x\)

    b) Với \(a > 0\) thì:

    +) $\left| x \right| \le a \Leftrightarrow  - a \le x \le a$.

    +) $\left| x \right| \ge a \Leftrightarrow x \le  - a$ hoặc $x \ge a$

    c) Với \(a,b \in R\) thì $\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$

    Xem toàn bộ nội dung Toán 10:

    (376) 1252 29/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Chia sẻ
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý thuyết lớp 10 Toán 10