Phương trình chứa căn

1. Phương trình chứa căn cơ bản

+) \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

+) \(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)

ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) hoặc \(g\left( x \right) \ge 0\) phụ thuộc vào hai hàm \(f\left( x \right),g\left( x \right)\), hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(g\left( x \right) \ge 0\)

+) \(f\left( x \right).\sqrt {g\left( x \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

2. Một số phương pháp giải phương trình chứa căn

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho căn có nghĩa.

- Bước 2: Chuyển vế để hai vế không âm.

- Bước 3: Bình phương hai vế để đưa về một trong các dạng phương trình căn cơ bản.

a) Phương pháp đặt ẩn phụ

Loại 1: \(a.f\left( x \right) + b\sqrt {f\left( x \right)}  + c = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {f\left( x \right)}  \ge 0\) thì phương trình trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\)

Loại 2: \(\sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)}  + \sqrt {f\left( x \right).g\left( x \right)}  = h\left( x \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)} \) và biến đổi phương trình về ẩn \(t\)

Loại 3: \(\sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)}  = h\left( x \right)\)

Đặt ẩn phụ \(u = \sqrt {f\left( x \right)} ,v = \sqrt {g\left( x \right)} \) đưa về hệ phương trình với ẩn \(u,v\)

b) Đưa về phương trình tích

Phương pháp chung:

Đoán nghiệm của phương trình để định hướng đưa về phương trình dạng tích hoặc nhân biểu thức liên hợp.

c) Sử dụng hằng đẳng thức đưa về phương trình cơ bản

Loại 1: \(\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

- Bước 1: Biến đổi \(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{C}} \right)^3} \Leftrightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{AB}}\left( {\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B}} \right) = C\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

- Bước 2: Thay \(\sqrt[3]{A} + \sqrt[3]{B} = \sqrt[3]{C}\) vào \(\left( {**} \right)\) ta được: \(\left( {**} \right) \Rightarrow A + B + 3\sqrt[3]{{ABC}} = C\)

- Bước 3: Giải phương trình trên và kết luận nghiệm

Loại 2: \(\sqrt {f\left( x \right)}  + \sqrt {g\left( x \right)}  = \sqrt {h\left( x \right)}  + \sqrt {k\left( x \right)} \)  với \(\left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + k\left( x \right)\\f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).k\left( x \right)\end{array} \right.\)

- Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: \(\sqrt {f\left( x \right)}  - \sqrt {h\left( x \right)}  = \sqrt {k\left( x \right)}  - \sqrt {g\left( x \right)} \)

- Bước 2: Bình phương, giải phương trình hệ quả.

Loại 3: Căn trong căn

Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} + {b^2} \pm 2ab = {\left( {a \pm b} \right)^2}\) cần lưu ý: \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)