Lý thuyết
Lý Thuyết Lớp 12
Lý thuyết lớp 11
Lý thuyết lớp 10
Lý thuyết lớp 9
Lý thuyết lớp 8
Lý thuyết lớp 7
Lý thuyết lớp 6
Lý thuyết lớp 5
Lý thuyết lớp 4
Lý thuyết lớp 3
Lý thuyết lớp 2
Lý thuyết lớp 1
Công thức
Công thức Toán học
Soạn văn
Toán THPT
Toán THCS
Thi vào lớp 10
Tuyển sinh
Đại học
Bản tin
Thư viện câu hỏi
Thi Online
Hỏi bàiTích vô hướng của hai véc tơ
1. Định nghĩa
a) Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó:
Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}\).
Quy ước: Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) hoặc \(\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \) thì ta xem góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là tùy ý (từ \({0^0}\) đến \({180^0}\)).
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Tính góc giữa hai véc tơ:
a. \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)
b. \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {BC} \)
Giải:
Vì tam giác $ABC$ vuông cân nên góc $A$ bằng $90^0$ và góc $B$ bằng góc $C$ bằng $45^0$.
a. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}\)
b. Dựng véc tơ \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BC} \) thì \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \widehat {ACD} = {135^0}\)
b) Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Ví dụ 2: Với các giả thiết ở ví dụ 1 và cho thêm $AB=AC=1$, tính $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} $.
Giải:
Ta có: $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$
Mà $\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = BA = 1$, $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 $, $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}$ nên:
$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.\sqrt 2 .\cos {45^0} = \sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 1$.
Vậy $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} =1$
2. Tính chất
Với ba véc tơ bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và mọi số thực $k$ ta luôn có:
\(\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Ta có kết quả sau:
+ Nếu hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
+ \(\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\) gọi là bình phương vô hướng của véc tơ \(\overrightarrow a \).
+ \({(\overrightarrow a \pm \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} \pm 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2},\) \({\rm{ }}(\overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\)