Tổng của hai véc tơ

Lý thuyết về tổng của hai véc tơ MÔN TOÁN Lớp 10 với nhiều phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(366) 1220 29/07/2022

1. Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $. Từ điểm A tùy ý vẽ $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a $  rồi từ B vẽ $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b $.

Khi đó vectơ $\overrightarrow {AC} $ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $.

Kí hiệu $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b $

b) Tính chất

+ Giao hoán : $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a $

+  Kết hợp : $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$

+ Tính chất vectơ – không: $\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a $

2. Các quy tắc

Quy tắc ba điểm: Cho $A,B,C$ tùy ý, ta có : $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} $

Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} $

Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm ${A_1},\,{A_2},\,...,\,{A_n}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  + \overrightarrow {{A_2}{A_3}}  + ... + \overrightarrow {{A_{n - 1}}{A_n}}  = \overrightarrow {{A_1}{A_n}} $

3. Các điểm đặc biệt

a) Trung điểm

Cho \(I\) là trung điểm \(AB\) và một điểm \(M\) bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Ngược lại, nếu có 2 tính chất trên ta cũng suy ra $I$ là trung điểm của $AB$

b) Trọng tâm

Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(M\) là một điểm bất kì, khi đó:

+) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

+) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \).

Chứng minh:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) đối xứng \(G\) qua \(I\)

Khi đó \(BGCD\) là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GD} \) (quy tắc hình bình hành)

Mà \(GA = GD = 2GI\) nên \(G\) là trung điểm của \(AD\)

Do đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \) (tính chất trung điểm)

Vậy \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Với \(M\) là điểm bất kì thì:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \) \( = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} \) \( = 3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)

Ngược lại, nếu có hai tính chất trên ta cũng suy ra ngược lại rằng $G$ là trọng tâm của tam giác.

(366) 1220 29/07/2022