Mệnh đề chứa biến và áp dụng vào suy luận toán học

Ví dụ:

+) \(P\left( x \right)\): “\({x^2} + 1 \ge 0\)” là một mệnh đề chứa biến.

Với \(x = 1\) thì \(P\left( 1 \right)\): “\({1^2} + 1 > 0\)” là một mệnh đề đúng.

+) \(Q\left( m \right)\): “\(2m - 1 > 3\)” là một mệnh đề chứa biến.

Với \(m = 0\) thì \(Q\left( 0 \right)\): “\(2.0 - 1 > 3\)” là một mệnh đề sai.

2. Kí hiệu $\forall $ và $\exists $

Ví dụ: Cho mệnh đề chứa biến \(Q\left( n \right)\): “\({2^n} - 1\) là số nguyên tố”.

+) Mệnh đề “\(\forall n \in {N^*},Q\left( n \right)\)” phát biểu là: Với mọi \(n\) là số nguyên dương ta đều có \({2^n} - 1\) là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề sai vì với \(n = 4\) thì \({2^4} - 1 = 15\) không là số nguyên tố.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\forall n \in {N^*},Q\left( n \right)\)” là “\(\exists n \in {N^*},\overline {Q\left( n \right)} \)”, phát biểu là: Tồn tại số nguyên dương \(n\) để \({2^n} - 1\) không là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề đúng vì với \(n = 4\) thì \({2^4} - 1 = 15\) không là số nguyên tố.

+) Mệnh đề “\(\exists  \in {N^*},Q\left( n \right)\)” phát biểu là: Tồn tại \(n\) là số nguyên dương để \({2^n} - 1\) là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề đúng vì với \(n = 3\) thì \({2^3} - 1 = 7\) là số nguyên tố.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\exists n \in {N^*},Q\left( n \right)\)” là “\(\forall n \in {N^*},\overline {Q\left( n \right)} \)”, phát biểu là: Với mọi số nguyên dương \(n\) ta đều có \({2^n} - 1\) không là số nguyên tố.

Đây là mệnh đề sai vì với \(n = 3\) thì \({2^3} - 1 = 7\) là số nguyên tố.

3. Định lý và chứng minh định lý

a) Định lý

- Định lý là một mệnh đề đúng, nhiều định lý được phát biểu dưới dạng

“\(\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right)\)”     (1)

trong đó \(P\left( x \right),Q\left( x \right)\) là những mệnh đề chứa biến, \(X\) là một tập hợp nào đó.

- Chứng minh định lý là dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi \(x\) thuộc \(X\) mà \(P\left( x \right)\) đúng thì \(Q\left( x \right)\) đúng.

b) Chứng minh định lý

Giả sử ta cần chứng minh định lí: $A \Rightarrow B$.

Cách 1 (Chứng minh trực tiếp): Ta giả thiết $A$ đúng, dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh $B$ đúng.

Ví dụ: Chứng minh định lý: Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \({n^2}\) chia hết cho \(4\).

Giải:

Vì \(n\) chẵn nên \(n = 2k\left( {k \in N} \right)\).

Khi đó \({n^2} = {\left( {2k} \right)^2} = 4{k^2} \vdots 4\), ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ: Chứng minh định lý: Với mọi số tự nhiên \(n\), nếu \(3n + 2\) là số lẻ thì \(n\) là số lẻ.

Giải:

Giả sử phản chứng, nếu \(n\) chẵn thì \(n = 2k,k \in N\).

Khi đó:

\(3n + 2 = 3.2k + 2 = 6k + 2 = 2\left( {3k + 1} \right) \vdots 2\) nên \(3n + 2\) là số tự nhiên chẵn, trái với dữ kiện bài cho.

Vậy \(n\) lẻ.

4. Định lý đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ

+) Cho định lý dạng “\(\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right)\)”   (1)

Khi đó, \(P\left( x \right)\) là giả thiết, \(Q\left( x \right)\) là kết luận của định lý.

Phát biểu mệnh đề (1):

Cách 1: Với mọi \(x\) thuộc \(X\), nếu có \(P\left( x \right)\) thì có \(Q\left( x \right)\).

Cách 2: \(P\left( x \right)\) là điều kiện đủ để có \(Q\left( x \right)\).

Cách 3: \(Q\left( x \right)\) là điều kiện cần để có \(P\left( x \right)\).

+) Mệnh đề “\(\forall x \in X,Q\left( x \right) \Rightarrow P\left( x \right)\)” (2) được gọi là định lý đảo của định lý (1) nếu nó đúng.

Khi đó (1) là định lý thuận, (2) là định lý đảo.

Viết gộp “\(\forall x \in X,P\left( x \right) \Leftrightarrow Q\left( x \right)\)”, ta nói “\(P\left( x \right)\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\left( x \right)\)” hoặc “\(P\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(Q\left( x \right)\)” hoặc “Điều kiện cần và đủ để có \(P\left( x \right)\) là có \(Q\left( x \right)\)”.

Ví dụ: Cho định lý “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”.

Ta có thể phát biểu định lý lại như sau: “Cho một tam giác bất kì, nếu nó là tam giác cân thì hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”.

Mệnh đề đảo của định lý là: “Cho một tam giác bất kì, nếu nó có hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì nó là tam giác cân”.

Mệnh đề này đúng nên ta có định lý gộp như sau:

“Một tam giác bất kì là tam giác cân nếu và chỉ nếu hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau.”