Ta có: \(I = \int {{x^2}\cos x\,dx}  = \int {{x^2}\,d\left( {\sin x} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = d\left( {\sin x} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2x\,dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \(I = \int {{x^2}d\left( {\sin x} \right)}  = \left( {{x^2}\sin x} \right) - 2\int {x\sin xdx} \)

\( = \left( {{x^2}\sin x} \right) + 2\left( {x\cos x} \right) - 2\int {\cos xdx} \)

\(= \left( {{x^2}\sin x} \right) + 2\left( {x\cos x} \right) - {\mathop{\rm s}\nolimits} inx + C\).

Chọn đáp án B.

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra được xác định bằng công thức sau:

\(V = \pi \int\limits_0^\pi  {\left( {x\sin x} \right)dx}  =  - \pi \int\limits_0^\pi  {xd\left( {\cos x} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left( {\cos x} \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \cos x\end{array} \right.\)

Khi đó

\(V =  - \pi \left( {x\cos x} \right)\left| {_0^\pi } \right. + \pi \int\limits_0^\pi  {\cos xdx}  \)\(\,=  - \pi \left( {x\cos x} \right)\left| {_0^\pi } \right. + \pi .\left( {\sin x} \right)\left| {_0^\pi } \right.\)\( =  - \pi \left( { - \pi } \right) + 0 = {\pi ^2}\)

Chọn đáp án B.

\(y = \sqrt {{x^2} - 6x + 5} \)

TX Đ: \(D = ( - \infty ,1] \cup {\rm{[}}5, + \infty )\)

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 5} }}\\y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 5} }} = 0 \Leftrightarrow x = 3\\\end{array}\)

\(y'\) không xác định tại \(x=1\) và \(x=5\)

Vậy hàm số đồng biến trên  \(\left( {5, + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l}
{x^4} + 4{x^2} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = 0
\end{array}\)

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm chung với trục hoành.

Ta có:

\(ABCD\) là tứ diện vuông tại \(A\) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}.6a.7a.4a = 28{a^3}\).

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:

\(\dfrac{{{V_{DAPN}}}}{{{V_{DABC}}}} = \dfrac{{DA}}{{DA}}.\dfrac{{DP}}{{DB}}.\dfrac{{DN}}{{DC}} \)\(\,= \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow {V_{DAPN}} = \dfrac{1}{4}{V_{DABC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}\)

\(\dfrac{{{V_{BAPM}}}}{{{V_{BADC}}}} = \dfrac{{BA}}{{BA}}.\dfrac{{BP}}{{BD}}.\dfrac{{BM}}{{BC}} \)\(\,= \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \)

\(\Rightarrow {V_{BAPM}} = \dfrac{1}{4}{V_{BADC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}\)

\(\dfrac{{{V_{CAMN}}}}{{{V_{CABD}}}} = \dfrac{{CA}}{{CA}}.\dfrac{{CM}}{{CB}}.\dfrac{{CN}}{{CD}} \)\(\,= \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow {V_{CAMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{CABD}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}\)

Do đó \({V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} - {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}} \)

\(= 28{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} = 7{a^3}\)

Chọn D.

Vì hình hộp chữ nhật cũng là hình lăng trụ nên thể tích của khối hộp cũng được tính bởi công thức \(V = Sh\), hay \(V = Sa\).

Chọn A.

Độ dài đường chéo của hình vuông mặt đáy lăng trụ tứ giác đều là:

\(d = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2a\)

Bán kính đường tròn đáy của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ là: \(r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a\)

Do đó thiết diện đi qua trục là 1 hình vuông.

Thể tích hình trụ là: \(V = B.h = \pi {a^2}.2a = 2\pi {a^3}\)

Do đó (I) đúng. Chọn A.

Trường hợp 1:\(CD//\left( P \right)\)

\(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 6; - 10; - 14} \right)\)\(\, =  - 2\left( {3;5;7} \right)\)

\( \Rightarrow \left( P \right):3x + 5y + 7z - 20 = 0\)

Trường hợp 2:\(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {1;1;2} \right)\) của \(CD\)

\(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {1;3;3} \right) \)

\(\Rightarrow \left( P \right):x + 3y + 3z - 10 = 0\).

Ta có: \(y = {\left( {4{x^2} - 1} \right)^{ - 4}} = \dfrac{1}{{{{\left( {4{x^2} - 1} \right)}^4}}}\)

Tập xác định là \(4{x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \)\(R\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right\}\)

Chọn đáp án C.

Gọi tiếp điểm của đồ thị hàm số là \(M\left( {1;1} \right)\)

Ta có: \(y' = \dfrac{\pi }{2}{x^{\dfrac{\pi }{2} - 1}} \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \dfrac{\pi }{2}\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến đó là: \(y = \dfrac{\pi }{2}\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = \dfrac{\pi }{2}x + 1 - \dfrac{\pi }{2}\)

Chọn đáp án B.

Đặt \(z = x + yi\)

\(\begin{array}{l}x - yi - \left( {1 - 3i} \right)( - 2 + i) = 2i\\ \Leftrightarrow x - yi - ( - 2 + 7i - 3{i^2}) = 2i\\ \Leftrightarrow x - yi - 1 - 7i = 2i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 7 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 9\end{array} \right. \\\Rightarrow z = 1 - 9i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {1 + {{( - 9)}^2}}  = \sqrt {82} \end{array}\)

Đặt \(z = x + yi\)

\(\eqalign{&\left| {z + 1 - i} \right| \le 3\cr& \Rightarrow \left| {x + yi + 1 - i} \right| \le 3\cr& \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right)} \right| \le 3\cr& \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  \le 3\cr}\)

Tập hợp biểu diễn số phức z à hình tròn tâm I( -1,1), bán kính \(r=3\)

Thể tích khối lập phương cạnh 2a là: \(V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}\)

Chọn D.

Chú ý khi giải:

Một số em sẽ chọn nhầm đáp án A vì đọc không kĩ đề, một số em khác thì tính nhầm \({\left( {2a} \right)^3} = 6{a^3}\) và chọn C là sai.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \)

\( \Rightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = 36\).

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.\)

Lựa chọn đáp án D.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\({x^4} - 3{x^2} + m \)    

\({x^4} - 3{x^2} + m = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} =  - m\)

\(\Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 3 =  - m - 3\)

Số nghiệm của pt \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\) chính là số giao điểm của đths \({x^4} - 3{x^2} - 3 = 0\) và đường thẳng \(y= -m - 3\)

Từ  đồ thị hàm số \( \Rightarrow - m – 3 = 0 \Leftrightarrow m=0\)

Hàm số đồng  biến trên khoảng (-2;3)

Chọn đáp án B

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 1}} \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \dfrac{4}{2} = 2\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \({\log _2}5 = a,\,{\log _3}5 = b\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}2 = \dfrac{1}{a}\\{\log _5}3 = \dfrac{1}{b}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \({\log _5}6 = {\log _5}2 + {\log _5}3 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \)\(\,= \dfrac{{a + b}}{{ab}} \)

\(\Rightarrow {\log _6}5 = \dfrac{{ab}}{{a + b}}\)

Chọn đáp án B.

Ta có: \(\int {\cos x.\sin x} \,dx = \int {\sin x\,d\left( {\sin x} \right)}  \)\(\,= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{4} + C\)

Chọn đáp án D.

Ta có: \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 - 4f(x)} \right]dx}  \)

\(=  - \int\limits_2^5 {2\,dx}  + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} \,dx\)

\(=  - \left( {2x} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^5\\_2^{}\end{array} \right. + 4.10 \)

\(=  - \left( {10 - 4} \right) + 40 = 34\)

Chọn đáp án B.

\(\eqalign{z& = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}}\cr& = \dfrac{{{{\left( {3 + 2i} \right)}^2} + {{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}\cr&= \dfrac{{9 + 4{i^2} + 12i + 1 + {i^2} - 2i}}{{3 - 2{i^2} - i}}\cr& = \dfrac{{5 + 10i}}{{5 - i}}\cr& = \dfrac{{5(1 + 2i)(5 + i)}}{{25 - {i^2}}}\cr& = \dfrac{{5(5 + 2{i^2} + 11i)}}{{26}}\cr&= \dfrac{{5(3 + 11i)}}{{26}} = \dfrac{{15}}{{26}} + \dfrac{{55}}{{26}}i\cr}\)

Đặt z = x +yi

Có \({z^2} = {(x + yi)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

Có z là 1 số thuần ảo nên \({x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x\\y =  - x\end{array} \right.\)

Điểm biểu diễn số phức x là đường thẳng \(y = x,{\rm{ }}y =  - x\) 

Gọi M là trung điểm của BC; O là tâm tam giác đều ABC

Vì A’ cách đều A, B, C nên \(A'O \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'O \bot AO \Rightarrow \Delta A'OA\) vuông tại O

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông A’OA có: \(A'O = \sqrt {AA{'^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'O.{S_{ABC}} \)\(\,= \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)

Chọn B  

Gọi bán kính của khối cầu là r

Ta có diện tích đường tròn lớn là \(\pi {r^2} = 2\pi  \Rightarrow r = \sqrt 2 \)

Diện tích của khối cầu đó là: \(S = 4\pi {r^2} = 4.\pi {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \)

Chọn C.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \).

\( \Rightarrow IH = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu là : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24.\)

Lựa chọn đáp án A.

Kẻ \(A'H \bot \left( {ABCD} \right);HM \bot AB;HN \bot AD\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}A'H \bot AB\\HM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {A'HM} \right) \)\(\Rightarrow AB \bot A'M\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {ABB'A'} \right) \supset A'M \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset HM \bot AB\end{array} \right\} \\\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'M;HM} \right)} = \widehat {A'MH} = {45^o}\)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {A'NH} = {60^0}\)

Đặt \(A'H = x\) khi đó ta có:

\(A'N = \dfrac{x}{{\sin 60}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt 3 }},\)

\(AN = \sqrt {AA{'^2} - A'{N^2}}  = \sqrt {1 - \dfrac{{4{x^2}}}{3}}  = HM\)

Mà \(HM = x.\cot 45 = x\)

\( \Rightarrow x = \sqrt {1 - \dfrac{{4{x^2}}}{3}}  \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 1 - \dfrac{{4{x^2}}}{3}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{7{x^2}}}{3} = 1\)

\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow x = \sqrt {\dfrac{3}{7}} \)

\({S_{ABCD}} = \sqrt 3 .\sqrt 7  = \sqrt {21} \)

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} \) \(= \sqrt {\dfrac{3}{7}} .\sqrt {21}  = 3\)

Chọn A.

Ta có: \({\log _2}^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\left( {{{\log }_2} - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = {x_1}^2 + {x_2}^2 = {2^2} + {4^2} = 20.\)

Chọn đáp án A.

Điều kiện xác định: \(\sqrt {{x^2} - x - 12}  > 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 12 > 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) > 0\)

\( \Rightarrow \)\(x\; \in ( - \infty ; - 3) \cup (4; + \infty )\)

Chọn đáp án A.

\(\begin{array}{l}(3 - 2i)z + 4 + 5i = 7 + 3i\\ \Leftrightarrow (3 - 2i)z = 3 - 2i\\ \Leftrightarrow z = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}z = a + bi,\,\,z' = a' + bi'\\z.z = (a + i)(a' + b'i)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = a.a' - b.b' + (a'b + ab')i\end{array}\)

Để z.z’ là số thực thì a'b + ab' = 0

Xét pt hoành độ gio điểm tại (x0, y0) ta có :

\(\begin{array}{l} - \dfrac{9}{4}{x_0} - \dfrac{1}{{24}} = \dfrac{{{x_0}^3}}{3} + \dfrac{{{x_0}^2}}{2} - 2{x_0}\\ \Leftrightarrow 8{x_0}^3 + 12{x_0}^2 + 6{x_0} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 1} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_0} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{13}}{{12}}\end{array}\)

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = - 2018 tại hai điểm phân biệt.

Ta có: \({V_1} = \dfrac{1}{3}{B_1}{h_1} = \dfrac{2}{3}{B_2}{h_2}\)

\({V_2} = \dfrac{1}{3}{B_2}{h_2} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3}{B_2}{h_2}}}{{\dfrac{1}{3}{B_2}{h_2}}} = 2\)

Chọn đáp án A.

Ta có: \(V = \dfrac{1}{3}S.h \)

\(\Rightarrow \dfrac{{2{a^3}}}{3} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .S \)

\(\Rightarrow S = \dfrac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn đáp án A.

\(BC = \sqrt {\left( {2{a^2}} \right) - {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Ta có: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.BC.{\rm{AA'}}\;\)\({\rm{ = }}\;a.a\sqrt 3.2a\;\)\({\rm{ = }}\;2\sqrt 3 {a^3}\)

Chọn đáp án A.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = 4\pi {R_1}^2\\{S_2} = 4\pi {R_2}^2\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \dfrac{{{R_2}^2}}{{{R_1}^2}} = {\left( {\dfrac{{{R_2}}}{{{R_1}}}} \right)^2} = {2^2} = 4\end{array}\) 

Chọn C.

\({x^3} - 6{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} =  - m\)

Số nghiệm của phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) chính là số giao điểm của đường thẳng y= -m và đths \(y = {x^3} - 6{x^2}\)

Xét \(y = {x^3} - 6{x^2}\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 12x\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Từ  BBT, pt \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)  đường thẳng y= -m cắt đths \(y = {x^3} - 6{x^2}\) tại 3 điểm \( \Leftrightarrow \) \(\begin{array}{l} - 32 <  - m < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 32\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \) có 31 giá trị của m

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\\
x \in Z,y \in Z \Rightarrow x + 1 \in U\left( 3 \right)\\
\Rightarrow x + 1 \in \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\\
\Rightarrow x \in \left\{ { - 2;0; - 4;2} \right\}
\end{array}\)

Vậy có 4 điểm có tọa độ nguyên.

Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^4}}}} \,dx\)

\(= \int {\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{{{x^3}}} + \dfrac{4}{{{x^4}}}} \right)} \,dx\)

\(=  - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\)

Chọn đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm \(x = 4 - x \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2.\)

Khi đó, thể tích hình phẳng được xác định là:\({V_y} = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - {{\left( {2 - x} \right)}^2}} \right|} \,dx = 16\pi .\)

Chọn đáp án D.

\(\begin{array}{l}z = 3 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\\ \Rightarrow S = 2\left| z \right| - 1 = 2.5 - 1 = 9\end{array}\)

\(\begin{array}{l}(x + 2y) + (2x - 2y)i = 7 - 4i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 7\\2x - 2y =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 7\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

\(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {3{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+ \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\)

Khi đó ta có:

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{1}{2}.a\sqrt 2 .a \)\(\,= \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

Chọn đáp án B

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có: \(IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} \).

\( \Rightarrow R = IA = 2\sqrt {18} \).

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 72.\)

Lựa chọn đáp án A.

Ta có: \({49^x} - {7^x} - 2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{7^x}} \right)^2} - {7^x} - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{7^x} - 2} \right)\left( {{7^x} + 1} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow {7^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _7}2\)

Chọn đáp án B.

Ta có: \({3.4^x} - {5.6^x} + {2.9^x} < 0 \)

\(\Leftrightarrow 2{\left( {{3^x}} \right)^2} - {5.2^x}{.3^x} + 3.{\left( {{2^x}} \right)^2} < 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{2.3}^x} - {{3.2}^x}} \right)\left( {{3^x} - {2^x}} \right) < 0\)

\(\Leftrightarrow x \in \left( {0;1} \right)\)

Chọn đáp án C.

Đặt \(t = \sqrt {a - x}  \Rightarrow {t^2} = a - x \)

\(\Leftrightarrow x = a - {t^2} \Rightarrow dx =  - 2t\,dt\)

Khi đó ta có: \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx}  =  - 2\int {\left( {a - {t^2}} \right){t^2}dt\,} \)

\(=  - 2\int {\left( {a{t^2} - {t^4}} \right)} \,dt\)\(\, =  - 2\left( {\dfrac{{a{t^3}}}{3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right) + C \)

\(= \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}a{t^3} + C \)

\(= \dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)

Chọn đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa các đường thẳng là\(\left\{ \begin{array}{l}2 - x = 0\\\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 2 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích của miền \(\left( D \right)\) được xác định bởi:

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x } \right)\,dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx}  \)

\(\;\;\;= \left( {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^1\\_0^{}\end{array} \right. + \left( {2x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right.\)

\(\;\;\;= \dfrac{2}{3} + 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{6}\)

Chọn đáp án B.

Gọi H là hình chiếu của \(I\left( {3;\sqrt 3 ; - 7} \right)\) trên Oy\( \Rightarrow H\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\)\( \Rightarrow R = IH = \sqrt {58} \)

Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 58.\)

Lựa chọn đáp án B.

Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là \(A,B,C\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {6;6;4} \right)\)

\({S_{hbh}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \)\(\,= \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{14}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 2\sqrt {83} \)