Giới hạn của hàm số

Lý thuyết về giới hạn của hàm số môn toán lớp 11 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(376) 1254 29/07/2022
Bài viết đã được lưu
Chia sẻ

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

    Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).

    Nhận xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\)  với \(c\) là hằng số.

    Định lý: Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó:

    +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)

    +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)

    +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)

    +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}\) với \(M \ne 0\)

    Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt L \).

    2. Giới hạn một bên

    Số \(L\) là:

    + giới hạn bên phải của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\)

    + giới hạn bên trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)

    Định lý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\)

    3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

    Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x \to  + \infty \) (hoặc \(x \to  - \infty \))  kí hiệu là:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = L\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L\))

    Với \(c,k\) là hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\).

    4. Giới hạn vô cực của hàm số

    a) Giới hạn vô cực

    Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn là \( \pm \infty \) khi \(x \to  \pm \infty \) kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = x =  \pm \infty \)

    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty  \) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] =  - \infty \)

    b) Một vài giới hạn đặc biệt

    +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\) nguyên dương.

    +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty \) nếu \(k\) lẻ.

    Xem toàn bộ nội dung Toán 11:

    (376) 1254 29/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Chia sẻ
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý thuyết lớp 11 Toán 11