Ôn tập chương 5

I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm

* Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀\( \in \)(a; b)

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) (\(\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f(x) - f({x_0})\))

* Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó

2. Ý nghĩa của đạo hàm

* \(f'({x_0})\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀))

* Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀) với y₀ = f(x₀) là:

\(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}\)

3. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

PP: * Bước 1: Giả sử \(\Delta x\)là số gia của đối số tại x­₀. Ta có: \(\Delta \)y = f(x₀ + \(\Delta \)x) – f(x₀)

* Bước 2: Lập tỉ số: \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

* Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

4. Phương trình tiếp tuyến (PTTT)

a) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀)

* Bước 1: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}\)(1)

* Bước 2: \(f'(x)\)\( \Rightarrow \)\(f'({x_0})\)

* Bước 3: PTTT là: (thay \(f'({x_0})\), x₀, y₀ vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b

b) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng a

* Bước 1: Ta có: x₀ = a \( \Rightarrow \)y₀ = f(x₀) = b: M(a; b)

* Bước 2: Trình bày như a)

c) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ bằng b

* Bước 1: Ta có: y₀ = b \( \Rightarrow \)x₀ = a (cho f(x) = b): M(a; b)

* Bước 2: Trình bày như a)

d) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc k

* Bước 1: Ta có: \(f'({x_0})\)= k

* Bước 2: PTTT của đồ thị hàm số có dạng: \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}\)(1)

* Bước 3: \(f'(x)\)\( \Rightarrow \) \(f'({x_0})\)= k (giải PT này suy ra nghiệm x₀) \( \Rightarrow \) y₀ = f(x₀)

* Bước 4: PTTT là: (thay \(f'({x_0})\), x₀, y₀ vào (1)) và rút gọn về dạng y = ax + b

e) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b

* Bước 1: Ta có: \(f'({x_0})\)= k = a

* Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)

f) PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng y = ax + b

* Bước 1: Ta có: \(f'({x_0}) = k =  - \dfrac{1}{a}\)

* Bước 2: Trình bày như d) (từ bước 2)

II. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm của tổng , hiệu, tích, thương

2. Đạo hàm cơ bản và hàm hợp

Ghi nhớ: 1) \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)\( \Rightarrow \)\(y' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}\)

2) \(y = \dfrac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\)\( \Rightarrow \)\(y' = \dfrac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{(dx + e)}^2}}}\)  

3) \(y = \dfrac{{a{x^2} + bx + c}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}\)\( \Rightarrow \)\(y' = \dfrac{{(a{b_1} - {a_1}b){x^2} + 2(a{c_1} - {a_1}c)x + (b{c_1} - {b_1}c)}}{{{{({a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1})}^2}}}\)

4) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\)

5) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = 1\)

6) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\sin u(x)}}{{u(x)}} = 1\) với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u(x) = 0\) 

III. VI PHÂN

1) Vi phân

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và có đạo hàm tại \(x \in \left( {a;b} \right)\). Giả sử \(\Delta x\) là số gia của \(x\).

Ta gọi tích \(f'\left( x \right)\Delta x\) là vi phân của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(x\) ứng với số gia \(\Delta x\), kí hiệu là \(df\left( x \right)\) hoặc \(dy\), tức là:

\(dy = df\left( x \right) = f'\left( x \right)\Delta x\)

Chú ý:

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số \(y = x\) ta có:

\(dx = d\left( x \right) = \left( x \right)'\Delta x = 1.\Delta x = \Delta x\)

Do đó với hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có:

\(dy = df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx\)

2) Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in (a;b)\)

* Đạo hàm cấp hai của y = f(x). Ký hiệu: \(y'' = f''(x) = [f'(x)]'\)

* Đạo hàm cấp ba của y = f(x). Ký hiệu: \(y''' = f'''(x) = [f''(x)]'\)hoặc \({y^{(3)}} = {f^{(3)}}(x) = [f''(x)]'\) 

* Đạo hàm cấp bốn của y = f(x). Ký hiệu: \({y^{(4)}} = {f^{(4)}}(x) = [{f^{(3)}}(x)]'\).......

* Đạo hàm cấp n – 1 của y = f(x). Ký hiệu: \({y^{(n - 1)}} = {f^{(n - 1)}}(x)\)

* Đạo hàm cấp n của y = f(x). Ký hiệu: \({y^{(n)}} = {f^{(n)}}(x) = [{f^{(n - 1)}}(x)]'\)