Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

- Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

- Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

Ví dụ: Giải phương trình: \(\cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\)

Giải:

pt\( \Leftrightarrow \)\(\cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(2\cos 3x\cos x + \cos 3x = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\cos 3x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}\cos 3x = 0\\\cos x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\),\(k \in \mathbb{Z}\)

2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).

- Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).

- Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).

Ví dụ: Giải phương trình: \(2{\sin ^2}x + 3\sin x-2 = 0\).

Giải:

Đặt \(t = \sin x\), \( - 1 \le t \le 1\). PT trở thành: \(2{t^2} + 3t-2 = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{2}\\t =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\sin x - \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \) \(\sin x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\)

3. Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Phương pháp chung:

Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)

- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 3: Đặt \(\cos \alpha  = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha  = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).

Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):

- Bước 1: Xét \(x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.

- Bước 2: Xét \(x \ne \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\).

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: \(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  - 2\)

Giải:

\(\sqrt 3 \sin x-\cos x =  - 2\)\( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \dfrac{1}{2}\cos x =  - 1\) \( \Leftrightarrow \) \(\sin x\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos x\sin \dfrac{\pi }{6} =  - 1\)

\( \Leftrightarrow \) \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) =  - 1\) \( \Leftrightarrow \)\(x - \dfrac{\pi }{6} =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow \) \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng \({a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x = 0}\)

Cách giải.  

+) Kiểm tra \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) có là nghiệm của phương trình hay không.

+) Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta thu được phương trình

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0.\)

Đây là phương trình bậc hai đối với \(\tan x\) mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt. Phương trình dạng \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\) ta làm như sau:

Phương trình \( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.1\)

\( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\sin ^2}x + b\sin x\cos x + \left( {c - d} \right){\cos ^2}x = 0.\)

Ví dụ: Giải phương trình:\(4{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 3si{n^2}\dfrac{x}{2} = 3\)

Giải

+) TH1: \(\cos \dfrac{x}{2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\{\sin ^2}\dfrac{x}{2} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {4.0^2} + \dfrac{1}{2}.0 + 3.1 = 3\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

+) TH2: \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình có \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\) ta được phương trình tương đương:

\(\begin{array}{l}4\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + 3\dfrac{{si{n^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ \Leftrightarrow 4 + \tan \dfrac{x}{2} + 3{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = 3\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)\end{array}\)

Đặt t = tan\(\dfrac{x}{2}\) thì phương trình trở thành: \(3{t^2} + t + 4 = 3\left( {1 + {t^2}} \right)\)

\(t =  - 1 \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2} =  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.

5. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

- Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).

- Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).

Ví dụ: Giải phương trình: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos {\rm{x  = }}\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\sqrt {1 + \sin {\rm{x}}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \)

Giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) \( \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.cosx = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó \(pt \Leftrightarrow \sqrt 6 .\sqrt {{t^2} + 1}  = 3t;t \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Leftrightarrow 6({t^2} + 1) = 9{t^2}\) \( \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow t = \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm như trên.