Hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc môn toán lớp 11 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng
(390) 1299 29/07/2022
Bài viết đã được lưu
Chia sẻ

Nội dung bài viết

    Xem thêm

    1. Định nghĩa

    a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

    Véc tơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) là VTCP của \(d\) nếu giá của \(\overrightarrow a \) song song hoặc trùng với \(d\).

    b) Góc giữa hai đường thẳng

    - Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà $a$ và $b$ cắt nhau tạo nên.

    - Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$.

    Kí hiệu: \(a//a',b//b' \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}\).

    - Giả sử \(\overrightarrow u \) là VTCP của \(a,\overrightarrow v \) là VTCP của \(b,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \alpha \). Khi đó:

    \(\widehat {\left( {a,b} \right)} = \left\{ \begin{array}{l}\alpha ,{0^0} \le \alpha  \le {90^0}\\{180^0} - \alpha ,{90^0} < \alpha  \le {180^0}\end{array} \right.\)

    - Nếu \(a//b\) hoặc \(a \equiv b\) thì \(\widehat {\left( {a,b} \right)} = {0^0}\)

    Góc giữa hai đường thẳng chỉ có thể là góc nhọn hoặc góc vuông.

    c) Hai đường thẳng vuông góc

    +) \(a \bot b \Leftrightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = {90^0}\)

    +) Giả sử \(\overrightarrow u \) là VTCP của \(a,\overrightarrow v \) là VTCP của \(b\). Khi đó \(a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0\).

    Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

    2. Một số dạng toán thường gặp

    Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng.

    Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cô sin hoặc tỉ số lượng giác.

    \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

    Phương pháp 2: Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng.

    $\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$

    Để tính \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\left| {\overrightarrow u } \right|,\left| {\overrightarrow v } \right|\) ta chọn ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) qua các véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) rồi thực hiện các tính toán.

    Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

    Phương pháp:

    Để chứng minh hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) vuông góc ta thực hiện một trong các cách:

    Cách 1: Chứng minh \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\), trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là các VTCP của \({d_1},{d_2}\).

    Cách 2: Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}b//c\\a \bot c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)

    Cách 3: Sử dụng định lý Pi-ta-go hoặc xác định góc giữa \({d_1},{d_2}\) và tính trực tiếp góc đó.

    Xem toàn bộ nội dung Toán 11:

    (390) 1299 29/07/2022
    Bài viết đã được lưu
    Bài trước
    Chia sẻ
    Bài sau  
    Tìm thêm: Lý thuyết Lý thuyết lớp 11 Toán 11